3.2 数学归纳法的应用
学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．
知识点一 用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式 思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？ 答案 (1)归纳奠基：验证初始值．
(2)归纳递推：在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立． 思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？ 答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”． 梳理 利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行． 知识点二 贝努利不等式
对任意实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.
类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式
1111
例1 证明：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n∈N＋，n≥2)．
23nn
151353
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋2＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．
242242(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立， 1111
即1＋2＋2＋…＋2＜2－. 23kk
111111111当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋
23k?k＋1?2k?k＋1?2kk?k＋1?k
?1－1?1
，即当n＝k＋1时，命题成立． ?kk＋1?＝2－??k＋1
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．
反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．
111
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n＜n(n∈N＋，n＞1)．
232－111
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．
23(2)假设当n＝k(k>1，k∈N＋)时，不等式成立， 111
即1＋＋＋…＋k 232－1 11111111则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k1 2322＋12－122＋12＋－11×2k 22k＋1－11 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立． 类型二 利用数学归纳法证明与数列有关的不等式 1 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)． 2 ?1? (1)判断?S?是否为等差数列，并证明你的结论； ?n? 1122 (2)证明：S2＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)． 12n 24n ?1? (1)解 ?S?是等差数列，证明如下： ?n? 11 S1＝a1＝，所以＝2. 2S1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 11?1?1 所以－＝2.故?S?是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n. SnSn－1Sn?n? 111 (2)证明 ①当n＝1时，S2，不等式成立． 1＝＝－424×1②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 1221即S21＋S2＋…＋Sk≤－成立， 24k则当n＝k＋1 1222 时，S21＋S2＋…＋Sk＋Sk＋1≤－ 1111?1－1?＋＝－k2? 24k4?k＋1?224??k＋1??? 22 11k＋k＋111k＋k11＝－·＜－·＝－. 24k?k＋1?224k?k＋1?224?k＋1? 即当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立． 反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础． (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明． 11 跟踪训练2 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜. an1－a1 证明 (1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立． 1－a1 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜. 1－a1 当n＝k＋1时，由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. ak1－a211 同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， ak 1－a1－a1 故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜. 1－a1 综合(1)(2)可知，对一切正整数n，都有1＜an＜. 1－a