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《不等式》全章复习与巩固 编稿：张林娟 审稿：孙永钊
【学习目标】
1. 了解不等式（组）的实际背景；
2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；
3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】
不等式
不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域
基本不等式
简单的线性规划
【要点梳理】
要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a?b?b?a. (2)传递性：a?b,b?c?a?c.
最大（小）值问题
(3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d.
(4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc；a?b?0,c?d?0?ac?bd. (5) 乘方法则：a?b?0?a?b(n?N*，且n?1). (6) 开方法则：a?b?0?nnna?nb(n?N*，且n?1).
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系
1. 一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0(a?0)的解集：
设相应的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等
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式的解的各种情况如下表：
函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象 方程ax2?bx?c?0?a?0?有两相异实根有两相等实根x1,x2(x1?x2) x1?x2??的根 ax2?bx?c?0(a?0)b 2a无实根 R 的解集 ax2?bx?c?0(a?0) 的解集 2. 解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：A?ax?bx?c(a?0). （2）计算判别式?，分析不等式的解的情况：
①??0时，求根x1,x2（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②??0时，求根x1?x2??③??0时，方程无解. （3）写出解集.
要点诠释：若a?0，可以转化为a?0的情形解决. 要点三：线性规划
1. 用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax?By?C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax?By?C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点?x0，y0?，从Ax0?By0?C的正负即可判断Ax?By?C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C?0时，常把原点作为此特殊点）
2b； 2a2
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3. 线性规划的有关概念 （1） 线性约束条件：
如果两个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
（2）线性目标函数：
关于x、y的一次式z?ax?by(a，b?R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③ 线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． （3）可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．
要点四：基本不等式 1. 两个重要不等式
① a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号“=”） ② 基本不等式：如果a,b是正数，那么2. 算术平均数和几何平均数 ① 算术平均数：
22a?b?ab（当且仅当a?b时取等号“=”）. 2a?b称为a,b的算术平均数； 2② 几何平均数：ab称为a,b的几何平均数.
要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3. 基本不等式的应用
① x,y?(0,??)，且xy?P（定值），那么当x?y时，x?y有最小值2P； ② x,y?(0,??)，且x?y?S（定值），那么当x?y时，xy有最大值S. 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
3
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