广东梅县东山中学2019学年度第一学期
高三数学期末考试试题（文科试题）参考答案
15．（本小题满分12分）
解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.-------------2分 （Ⅰ）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)、(1,2)，------4分
故P(A)?26?13. ------------------------6分
（Ⅱ）办法一: 两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)；--------8分
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)；--------10分 故P(B)?1?26?23. ------------------12分 办法二: 两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)、(1,2)； 两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：(1,3)； 两个小球号码相加之和等于5的取法有1种：(2,3)；
故P(B)?26?16?16?426?3. ---------------12分 16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）?cosBcosC?sinBsinC?12 ?cos(B?C)?12 ………………………………2分 又?0?B?C??，?B?C??3 …………………4分
?A?B?C??，?A?2?3 ………………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA
得 (23)2?(b?c)2?2bc?2bc?cos2?3 ………………………………8分 即：12?16?2bc?2bc?(?12)，?bc?4 ………………………………10分
∴S?ABC?12bc?sinA?12?4?32?3 ………………………………12分
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：?AD?平面ABE，AD//BC
D C
∴BC?平面ABE，则AE?BC -----2分 又?BF?平面ACE，则AE?BF G ∴AE?平面BCE -----------4分 （Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点
?BF?平面ACE 则CE?BF，而BC?BE A F ∴F是EC中点 -----------------6分
B
在?AEC中，FG//AE
又
AE?平面BFDFG?平面BFD
E ∴AE//平面BFD ---------8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知FG//AE且FG?12AE?1，而AE?平面BCE ∴FG?平面BCE 即FG?平面BCF----10分 又 ?BF?平面ACE ∴BF?CE
∴Rt?BCE中，BF?CF?12CE?2 ∴S1?CFB?2?2?2?1 ------12分 ∴V1C?BFG?VG?BCF?3?S?1?CFB?FG3 ------14分
18．（本小题满分14分）
解：方程x2?ax?b?0的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数
y?f(x)?x2?ax?b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和 (1,3)内，由此可得不等式组
b A(-4, 3) ??f(0)?0??f(1)?0，即?b?0?a?b?1?0，…………………3分 ??f(3)?0??3a?b?9?0B ?1O ?3C ?1a 则在坐标平面aOb内，点(a,b)对应的区域S如图 阴影部分所示，易得图中A,B,C三点的坐标分别 为(?4,3),(?3,0),(?1,0)，…………………………5分 ?9（1）令z?2a?b，则直线b?2a?z经过点A时
z取得最小值，经过点C时z取得最大值，即zmin??11,zmax??2，……7分
又A,B,C三点的值没有取到，所以?11?z??2；…………………………8分 （2）过点(?5,1)的光线经x轴反射后的光线必过点(?5,?1)，…………………10分 由图并结合不等式组可知在区域S内只有点(?3,1)符合条件，所以此时直线方程为：
y?1?1?(?1)?3?(?5)?(x?5)，即y?x?4………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?11x22?12x?lnx，f?(x)?x?x?x；………………2分
对于x?[1，e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，…………3分
∴fe21max(x)?f(e)?1?2，fmin(x)?f(1)?2.……………………………6分
（Ⅱ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?1)x22?2ax?lnx，则g(x)的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间 （1，+∞）上恒成立. ……………………………………………7分
∵g?(x)?(2a?1)x?2a?1(2a?1)x2?2ax?1x?x?(x?1)[(2a?1)x?1]x
① 若a?12，令g?(x)?0，得极值点xx11?1，2?2a?1，………………8分 当x?x121?1，即2?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，
此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意；………………………………………9分
当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有
g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；………………………………………10分
② 若a?12，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0， 从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数； ……………………………………12分 要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a?12?0?a??12， 由此求得a的范围是[?12，12]. ………………13分 综合①②可知，当a∈[?112，2]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.
………………………………………………14分
20. （本小题满分14分）
解：（1）∵OM?11(OA?OB)，点M的横坐标为，∴x1?x2?1，---------2分
221?log2x1x2x1x21?log2?1?x1??1?x2??1??x1?x2??x1x21
?222----------------------------------------４分
点M的纵坐标
y?y1?y2?2 （2）由（1）可知，x1?x2?1?f?x1??f?x2??1 ?Sn?f???f?????f??1??n??2??n??n?1??，?n???1??n?1????n?1??1??n?1???f?f?n?1?2Sn??f???f? ∴S?。-------8分 ???????n?2??n??n????n??n?? （3）当n?2时，
an?141??1??4????n?1??n??n?1??n?2??n?1n?2?，-------10分
?1???1??2???2??11?42n??2???n?1n?2?n?2n?2Tn?2?1111?4?????3?3445n?2???Sn?1?1????2即?? ---------12分
4n4n2?n?2?，∵?n?2?2?41?142（等号在n?2时成立），∴??. n??42n---------------------------1４分