必修四平面向量的概念及线性运算培优学案

学科教师辅导讲义

学员编号: 学员姓名: 授课主题 授课类型 年 级:高一 辅导科目:数学 课 时 数:3 学科教师: 第07讲---平面向量的概念及线性运算 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ① 了解向量、向量的相等、共线向量等概念; ② 掌握向量、向量的相等、共线向量等概念; ③ 熟练掌握向量的线性运算法则:加法法则,减法法则,数乘法则。 授课日期及时段 T(Textbook-Based)——同步课堂 知识梳理 *创设情境 兴趣导入 如图7-1所示,用100N的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗? ① 图7-1 一、平面向量的概念: 1、平面向量:在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量叫做数量(标量),例如质量、时间、温度、面积、密度等.既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量),例如力、速度、位移等. 平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量,线段的指向就是向量的方向,线段的长度表示向量的大小.如图7-2所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线段的终点叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点的向量记作AB.也可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面加箭头,记作a. Aa B 图7-2 2、向量的模长:向量的大小叫做向量的模.向量a, AB的模依次记作a,AB. 3、零向量:长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的.

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4、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. 5、平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 规定:0与任一向量平行. 6、相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 7、相反向量:与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量. 二、平面向量的基本运算: 一般地,?a+?b叫做a, b的一个线性组合(其中?,?均为系数).如果l =?a+? b,则称l可以用a,b线性表示. 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算. 1、三角形法则: 位移AC叫做位移AB与位移BC的和,记作AC=AB+BC. Ba b b aA a+b C 图7-3 一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A(如图7-3),依次作AB=a, BC=b,则向量AC叫做向量a与向量b的和,记作a+b ,即 a+b =AB+BC=AC (7.1) 求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则. 2、平行四边形法则:如图7-4所示, ABCD为平行四边形,由于AD=BC,根据三角形法则得 D C AB+AD=AB+BC=AC A 图7-4 B 这说明,在平行四边形ABCD中, AC所表示的向量就是AB与AD的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则. 平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质:

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(1)a+0 = 0+a = a; a+(?a)= 0; (2)a+b=b+a; (3)(a+b)+ c = a +(b+c). 3、平面向量减法法则: 与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差.即 a ?b = a+(?b). 设a=OA,b ?OB,则 OA?OB?OA?(?OB)= OA?BO?BO?OA?BA. 即 OA?OB=BA (7.2) 观察图7-5可以得到:起点相同的两个向量a、 b,其差a-b仍然是一个向量,叫做a与b的差向量,其起点是减向量b的终点,终点是被减向量a的终点. a-bB b aA 图7-5 O 一般地,实数?与向量a的积是一个向量,记作?a,它的模为 |?a|?|?||a| (7.3) 若|?a|?0,则当?>0时,?a的方向与a的方向相同,当?<0时,?a的方向与a的方向相反. 由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当??0时,有 a∥b?a??b (7.4) 一般地,有 0a= 0, ?0 = 0 . 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于任意向量a, b及任意实数?、?,向量数乘 运算满足如下的法则: 1a?a, ?2?   ?1?  ??1?a??a ;????a????a?????a?; ?4 ? ??a?b???a??b.?3?  ?????a??a??a;

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