学科教师辅导讲义
学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 年 级：高一 辅导科目：数学 课 时 数：3 学科教师： 第07讲---平面向量的概念及线性运算 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ① 了解向量、向量的相等、共线向量等概念； ② 掌握向量、向量的相等、共线向量等概念； ③ 熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 *创设情境 兴趣导入 如图7－1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？ ① 图7－1 一、平面向量的概念： 1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a． Aa B 图7－2 2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB． 3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
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4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． 5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0与任一向量平行． 6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量． 二、平面向量的基本运算： 一般地，?a＋?b叫做a, b的一个线性组合（其中?,?均为系数）．如果l ＝?a＋? b，则称l可以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 1、三角形法则： 位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC． Ba b b aA a+b C 图7－3 一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－3)，依次作AB=a, BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 a＋b =AB＋BC=AC （7．1） 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－4所示， ABCD为平行四边形，由于AD=BC，根据三角形法则得 D C AB＋AD=AB＋BC=AC A 图7－4 B 这说明，在平行四边形ABCD中， AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则． 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
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（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． 3、平面向量减法法则： 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即 a ?b = a＋(?b)． 设a=OA，b ?OB，则 OA?OB?OA?(?OB)= OA?BO?BO?OA?BA． 即 OA?OB=BA （7．2） 观察图7－5可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点． a-bB b aA 图7－5 O 一般地，实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的模为 |?a|?|?||a| （7．3） 若|?a|?0，则当?＞0时，?a的方向与a的方向相同，当?＜0时，?a的方向与a的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当??0时，有 a∥b?a??b （7．4） 一般地，有 0a= 0, ?0 = 0 ． 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数?、?，向量数乘 运算满足如下的法则： 1a?a， ?2? ?1? ??1?a??a ；????a????a?????a?； ?４ ? ??a?b???a??b．?3? ?????a??a??a；
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