24、（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐
?3)，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． 标为(3，0)，与y轴交于点C(0，（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP?C.是否存在点P，使四边形POP?C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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第24题图2(备用)
y A O B x ·P C
第24题图1
y A O B x ·P
参考答案
一、1、A2、D 3、B 4、C5、C 6、A 7、B 8、D
7、解析：由点C(x0,y0)是该抛物线的顶点，且y1?y2?y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1?y2?y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此x0>3，当在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0－（－5）>3－x0,解得x0??1，综上所得：x0??1，故选B
8【解题思路】 抛物线与x轴有不同的两个交点，则b2?4ac?0，与B矛盾，可排除B选项；剩下A、C、D不能直接作出正误判断，我们分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.
由图可知a的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以x0,x1,x2的大小就无法确定；在图1中，a>0且有x1?x0?x2，则a(x0?x1)(x0?x2)的值为负；在图2中，a<0且有
x1?x0?x2，则a(x0?x1)(x0?x2)的值也为负.所以正确选项为D.
二、9、(－2,0)(3,0)10、略11、0 12、
2 13、3 14、2 a 15、＜ 抛物线y??x2?2x?m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），∴ ?x2?2x?m?0
x1＋x2＝2，x1x2＝－m＞0，∴x1＝2－x2，∴x＝－x1＜0，由图象知，当x＜0时，y＜0。
16、
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解解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
=﹣，∴b=a＜0，
答： ∵对称轴x=﹣
∴ab＞0．故①正确；
②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0． 故②正确；
③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， ∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0， ∴b+2c＞0． 故③正确；
④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0． 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． ∵b＜0， ∴c﹣b＞0，
∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0． 故④正确； ⑤如图，对称轴x=﹣
=﹣，则
．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个． 17.(1)证明：∵ ∴ ∴ 方程∴ 抛物线(2)解:令
则
有两个不相等的实数根. 与轴必有两个不同的交点. 解得
18解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8． 分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a＜0， ∵AB=16，且A（﹣6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x=
=2，
要使y1随着x的增大而减小，则a＜0， - 8 -
∴x＞2；
（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a＞0， ∵AB=16，且A（6，0），
∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x=
=﹣2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0， ∴x＜﹣2．
19、解：（1）由图可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（1，0）、（3，0）两点．∴x1=1，x2=3； （2）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为1＜x＜3；（2分） （3）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为x＞2；（2分） （4）由顶点（2，2）设方程为a（x－2）2+2=0， ∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0）， 代入a（x－2）2+2=0得：a（1－2）2+2=0， ∴a=－2，
∴抛物线方程为y=－2（x－2）2+2，
y=－2（x－2）2+2－k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位．由图象知，当2－k＞0时，抛物线与x轴有两个交点． 故k＜2．（4分）
20、解：（1）a=3时，方程组为②×2得，4x﹣2y=2③， ①+③得，5x=5， 解得x=1，
把x=1代入①得，1+2y=3， 解得y=1， 所以，方程组的解是
；
，
（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1， 所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，
- 9 -
所以，当a=﹣=﹣时，S有最小值．
21、解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图， CD=x，则AD=2﹣x， ∵Rt△ABC中，AC=BC=2， ∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2， ∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，
∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
21题答
∴y=
22、解：（1）由题意可知：
????(2k?3)?2························ 1分 ?4(k2?1)?0， ·
即?12k?5?0 ························ 2分
∴k?5． ························· 3分 12??x1?x2?2k?3?0（2）∵?， ························· 5分 2??x1?x2?k?1?0∴x1?0,x2?0． ························· 6分
（3）依题意，不妨设A（x1,0），B（x2,0）.
∴OA?OB?x1?x2??(x1?x2)??(2k?3)，
···················· 8分 OA?OB??x1??x2?(?x1)?(?x2)?x1x2?k2?1， ·
OB?3， ∵OA?OB?2OA?∴?(2k?3)?2(k2?1)?3，
解得k1＝1，k2＝－2． ··························· 9分 ∵k?5，∴k＝－2． ························· 10分 1223．（10分）（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200， 当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000， 综上所述：y=
- 10 -
；