作业3 刚 体
3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为?0，此后飞轮经
历制动过程，阻力矩M的大小与角速度?的平方成正比，比例系数k > 0，当???03时，飞轮的
角加速度
?? ，从开始制动到???03时，
所经过的时间 t = . 解：由转动定律：
M??K?2?J? 将
???03代入 得 ???k?029J
由
?K?2?J??Jd?dt ??03d?k???J dt 解得 t?2J? o?2?t00k3-2 一滑轮半径为10cm,?22 转动惯量为
1.0?10 kg?m,
有一变力
F?0.50t?0.30t2 (N)沿切线方向作用在
滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为
0.05t?0.03t2 N?m．如果滑轮最初处于静止状态，则在3.0s后的角速
度为 49.5 rad/s． 解
M??rF?0.10???0.50t?0.30t2?：
?0.05t?0.03t2
N?m
M?Jd?dt?
?Mdt??Jd??
???1.0?10?23.0o? d???o?0.05t?0.03t2? dt?
??49.5rad/s
3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB
= 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，
J0?mCR22，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，
绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力． 解：P110 6.3 TA?MAa （1）
mBg?TB?mBa（2） (TB?TA)R?J??mCR2?2（3）
a?R? （4）
所以
a?mBg2
m?m = 7.61 m/s
AB?mc2TA?MAa= 381 N
TB?mB(g?a)= 440 N
3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦
系数为
?，轮的初角速度为 ?0，问转过多少角度时轮即停
止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面上． P115 6.13
解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，
细环上压力为 dF?(Fπ R2)?2π r?dr，
细
环
上
摩
擦
力
为 df?? dF?2?(FR2)r dr
df
对
轴
的
力
矩
为 dM?? r df?2?(FR2)r2dr
总
摩
擦
力
矩
为
M??dM?2?(FR2)?R0r2dr?2?FR3
由动能定理
?M????0?J?202
∴ ???3mR?208?F
3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为?，物体与斜面间光滑，系
统从静止释放，
且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率．原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒
而
???R ∴ ?2mgxsin??kx2?mR2?J?R
C A B 题3-3图
3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94
?10?46kg?m2，氧分子质量为5.30
?10?26kg．若
氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转13gl1?cos?0213g?1?cos?0? （逆时针反转） ?2???2???
动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 2l6.75×1012 (rad/s)．
解：
Ekr?J?22，
Ekt?m?22，Ekr?2Ekt3，
??2m(3J)?=
6.75×1012
(rad/s) P116 6.14
3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以
?0角速度旋转的转轴
处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍． 解：
J0?0?J0?3 收臂后角速度 ??3?0 ，收
臂前动能
Ek?J0?022
收
臂后动能
E2k???J03??3?0?2?3J0?022 ∴
Ek?Ek?3
3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成
?0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面
上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为ml23．求：⑴棒开始转动时的角加
速度;
⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度
?1及棒中央点C的速度
?C1．
⑶ 碰撞后杆的角速度
?2和物块的线速度?2．
解：⑴ 由转动定律 M?J? M?mgl2sin?0
联立求得 ??3gsin?02l（rads2）
⑵ 棒从?0角转到竖直位置过程，机械能守恒有：
得：
?3g?1?co?s0?1?l ①，
?C1??l112?23gl?1?cos?0? ⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：
由
机
械
能
守
恒
，
得
：
12?13ml2?21122121?2?3ml?2?2m?2 ③ 联立 ① ② ③ 式得：
Om题3-11?0图 CCm题3-12图
3-13 单摆和直杆等长l，等质量m，悬挂于同一点O，摆锤拉到高度h0（h0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O点的转动惯量13A?(p1?2p1)?（2V1?V1）?p1V1，
22又因为
J?ml23，求碰撞后直杆下端可上升的最
paVa?pbVb，所以TA?TB，?E?0
大高度h．
解: 碰撞前摆锤速率
?0?2gh0
设碰撞后摆锤速率?，直杆角速率?，已知
J?ml23，则
碰撞前后角动量守恒 ml?0?ml??J?
碰
撞
前
后
机
械
能
守
恒
1m?2?1m?2?1J?22022 直杆上升过程机械能守恒
J?22?mgh2
解得
??3?02l
h?3h02
*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为
ml212）
，开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率
?0垂直落到距O点
l4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若
要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5 解：设杆和虫的重量均为m，碰后角速度为?，虫落到杆上为完
全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合
外力矩为零，角动量守恒 得
??12?7l0
设碰后t时刻，杆转过?角，虫爬到距O点为r处，此时杆
和虫系统所受合外力矩为
根据角动量定理有 M?d(J?)dt
由题设?不变，∴ M??dJdt
t时刻系统对O的转动惯量为 J?ml212?mr2，
代入上式，有 ∴ 为了保持
?不变，虫的爬行速录应为
??12?70l
作业5 热力学基础
5-1 一定量理想气体从a (2p1，V1) 状态经历如图直线过程到 b(p1，2V1) 状态，则在ab过程中系统对外作功
A = 3P1V1/2 ，内能改变 ?E= 0 ．
解
：
面
积
O l l m m h0 题3-13图 l4O?0l4m题3-14图 O?0mr?mgP2P1 a P1 b O V1 2V1 V 题5-1图