第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积试题 理 北师大版
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
定义 几何已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或意义 b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|或|a|＝a·a.
2
a·b(4)cos θ＝.
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y.
→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝
2
2
2
2
2
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
a·bx1x2＋y1y2
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 222|a||b|x1＋y1· x2＋y2
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b. (2)(a＋b)＝a＋2a·b＋b. (3)(a－b)＝a－2a·b＋b.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
π
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( × )
2
2
2
2
2
2
22
2
1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于( ) A．－12 C．－6 答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．(2016·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( ) A.6 B.5 C.3 D.2 答案 C
解析 由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝由此求得|b|＝3，故选C.
→
3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，
2
B．6 D．12
3222
|b|,4a－4a·b＋b＝1，即4－23|b|＋b＝1，2
→
AD＝(2,1)，则AD·AC等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形， →→→
∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． →→
∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.
4．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________． 答案
π 6
→→
解析 设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝＝2
|a||b|1＋
a·b1×3＋1×33
2
·1＋
2
3
233
＝＝， 242
π
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 6
5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________. 答案
10
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0， ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a＝5，b＝5， ∴|a＋b|＝2
2
a＋b2＝a＋2a·b＋b
22＝5＋5＝10.
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中→→
点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 5A．－ 81C. 4
1B. 811D. 8
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 1 解析 (1)如图，
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