图1-7
【答案】－3
25．设函数f(x)＝2cosx＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
2
?π?(2)当x∈?0，?时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．
6??
π??2
【解析】(1)f(x)＝2cosx＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin?2x＋?＋1＋a，2分
4??2π
则f(x)的最小正周期T＝＝π，3分
2
πππ3π
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
242883ππ??所以?kπ－，kπ＋?(k∈Z)为f(x)的单调递增区间.5分 88??ππ7π?π?(2)当x∈?0，?时?≤2x＋≤，7分 6?4412?π?πππ?当2x＋＝，即x＝时，sin?2x＋?＝1.
4?428?所以f(x)max＝2＋1＋a＝2?a＝1－2.10分
ππkππkππ
由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.12分
422828
π
26．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图1-8所示，P是图象的
2最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝5，PQ＝13.
11
图1-8
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2)时，求函数h(x)＝
f(x)·g(x)的值域．
4＋
【解析】(1)由条件知cos ∠POQ＝2
5
2
－13
2
2×4×5
＝
5
.2分 5
又cos ∠POQ＝
xP，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2).3分 5
2ππ
由此可得振幅A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.4分
ω6
?π?将点P(1,2)代入f(x)＝2sin?x＋φ?，
?6?
得sin?
?π＋φ?＝1.
??6?
π?ππ?π
∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f(x)＝2sin?x＋?.6分
3?23?6(2)由题意可得g(x)＝2sin?
?π
?6
x－
ππ＋?＝2sin x.7分 ?3?6
π?π?π
∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin?x＋?·sin x
3?6?6＝2sin
2
πππ
x＋23sin x·cos x 666
π?ππ?π
＝1－cos x＋3sin x＝1＋2sin?x－?.9分
6?33?3ππ?ππ?当x∈(－1,2)时，x－∈?－，?，10分
36?22?π??π
∴sin?x－?∈(－1,1)，
6??3即1＋2sin?
?πx－π?∈(－1,3)，于是函数h(x)的值域为(－1,3).12分
6??3?
112
27．已知函数f(x)＝23sin xcos x－sinx＋cos 2x＋，x∈R.
22
?ππ?(1)求函数f(x)在?－，?上的最值；
?42?
π
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
46?4π11π?，求cos?α－π?的值．
得到g(x)的图象．已知g(α)＝－，α∈?，?26?6?5?3???
12
π
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
4
?π?得到g(x)＝2sin ?x－?.7分
3??
π?π?6??由g(α)＝2sin?α－?＝－，得sin?α－? 3?3?5??3
＝－.8分
5∵
4π11ππ3π＜α＜，∴π＜α－＜， 3632
π?4?∴cos?α－?＝－.10分
3?5?∵
παπ3π
＜－＜，11分 2264
π??1＋cos?α－?3??
＝－
2
41－5 2
?απ?∴cos?－?＝－?26?
＝－10
.12分 10
28．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2 b sin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C. (1)求B的大小；
π
(2)若b＝3，A＝，求△ABC的面积．
4
【解析】(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C. 由正弦定理得2b＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，1分 化简得a＋c－b＋ac＝0，2分
13
2
2
22
a2＋c2－b2－ac1
∴cos B＝＝＝－.4分
2ac2ac2
2π
∵0 3 ππ2πππ (2)∵A＝，∴C＝π－－＝－，6分 44334 ππππ6－2?ππ?∴sin C＝sin?－?＝sin cos－cossin＝.8分 34344?34?由正弦定理得＝，9分 sin Csin B2πbsin C6－2 ∵b＝3，B＝，∴c＝＝，10分 3sin B2 116－2π3－3 ∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×3××sin ＝.12分 22244 cos B－2cos Acos C29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. 2a－bc(1)求的值； (2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围． 【解析】(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分 ∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A cos C)， ∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分 ∵A＋B＋C＝π，4分 ∴sin A＝2sin B，∴＝2.5分 cbababb2＋9－a2b2＋9－4b29－3b2 (2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0， 2b·36b6b∴b>3.①8分 ∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分 由①②得b的取值范围是(3，3).12分 sin B＋sin C2－cos B－cos C30．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足＝，函数f(x)＝sin sin Acos A?π??π?ωx(ω＞0)在区间?0，?上单调递增，在区间?，π?上单调递减． 3???3? (1)证明：b＋c＝2a； ?π?(2)若f??＝cos A，证明：△ABC为等边三角形． ?9? 14 2π4π3 (2)由题意知，＝，解得ω＝，7分 ω32π1?π?∵f??＝sin ＝＝cos A，A∈(0，π)， 62?9?π ∴A＝，8分 3 b2＋c2－a21 由余弦定理知，cos A＝＝， 2bc2 ∴b＋c－a＝bc.∵b＋c＝2a， ∴b＋c－? 2 2 2 2 2 2 2 ?b＋c?2＝bc， ??2? 即b＋c－2bc＝0，∴b＝c.10分 π 又A＝，∴△ABC为等边三角形.12分 3 ?π?2 31．已知函数f(x)＝(a＋2cosx)cos(2x＋θ)为奇函数，且f??＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)． ?4? (1)求a，θ的值； π?2?α??π??(2)若f??＝－，α∈?，π?，求sin?α＋?的值． 3?5?4??2?? 解：(1)因为f(x)＝(a＋2cosx)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cosx为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)π2 为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cosx)， 2 2 2 ?π?由f??＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1. ?4? 112?α?(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f??＝－sin α＝－， 225?4? 15