第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
→
1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP＝( A ) →→
A．λ(AB＋BC) λ∈(0,1) →→
C．λ(AB－BC) λ∈(0,1)
2→→
B．λ(AB＋BC) λ∈(0，) 22→→
D．λ(AB－BC) λ∈(0，) 2
→
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设AP＝→→→→
λAC，则λ∈(0,1)，于是AP＝λ(AB＋BC)，λ∈(0,1)．
→→→1→→
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( A )
32A． 31C．－ 3
→→
[解析] (方法一)：由AD＝2DB，
→→→→→1→2→可得CD－CA＝2(CB－CD)?CD＝CA＋CB，
332
所以λ＝.故选A．
3
2→→→→2→→2→→1→2→
(方法二)：CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝，故选A．
33333→→→
3．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( B ) A．△ABC内部 C．AB边所在的直线上
B．AC边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 1
B． 32D．－
3
→→→→→→
[解析] ∵CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA． →→∴CP＝λPA． ∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．
→→→
4．已知平行四边形ABCD中，DA＝a，DC＝b，其对角线交点为O，则OB等于( C )
1
1
A．a＋b 21
C．(a＋b) 2
→→→→→→
[解析] DA＋DC＝DA＋AB＝DB＝2OB， →1
所以OB＝(a＋b)，故选C．
2
1B．a＋b
2D．a＋b
→→→
5．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A．A、B、D C．B、C、D
B．A、B、C D．A、C、D
→→→→
[解析] BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2AB，所以，A、B、D三点共线．
→→→→→→
6．如图所示，向量OA、OB、OC的终点A、B、C在一条直线上，且AC＝－3CB.设OA＝p，→
OB＝q，OC＝r，则以下等式中成立的是( A )
→
13
A．r＝－p＋q 2231
C．r＝p－q 22
B．r＝－p＋2q D．r＝－q＋2p
→→→→→→
[解析] ∵OC＝OB＋BC，AC＝－3CB＝3BC， →1→∴BC＝AC．
3
→→1→→1→→∴OC＝OB＋AC＝OB＋(OC－OA)．
331
∴r＝q＋(r－p)．
313
∴r＝－p＋q．
22二、填空题
1→→→→→→→
7．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝ ；y＝ －
2 2
1 ． 61→1→→→→1→1→1→1→→→
[解析] 由题中条件得MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC＝xAB＋
323226
yAC，所以x＝，y＝－．
12
8．(2016·潍坊高一检测)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若
23→
→
1
216
DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．
→→
12
→→→2→1→
[解析] 由已知DE＝BE－BD＝BC－BA
322→→1→1→2→
＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC， 326312∴λ1＝－，λ2＝，
631
从而λ1＋λ2＝．
2三、解答题
→→→→
9．已知?ABCD中，AB＝a，AD＝b，对角线AC、BD交于点O，用a、b表示OA，BO． 1→1→1→→
[解析] OA＝CA＝(CB＋BA)＝(－a－b)．
222
→
BO＝BD＝(AD－AB)＝(b－a)．
10．已知向量e1、e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b． [证明] 若e1＝e2＝0，则a＝b＝0， 所以a与b共线，即a∥b；
若e1、e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1，
1→1→→
221
2
b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1．
因为e1≠0，所以a∥b． 综上可知，a∥b．
3
B级 素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C ) A．a与－λa的方向相反 C．a与λa的方向相同
2
B．|－λa|≥|a| D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ(λ≠0)一定是正数，故a与λa的方向相同．故选C．
2．设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( D )
A．0 C．－2
B．－1 1
D．－
2
2
2
[解析] ∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1
??1＝2u，
－e2)＝2ue1－ue2.∴?
?λ＝－u.?
1
解得λ＝－．
2
→
3．在?ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若AC→→
＝a，BD＝b，则AF＝( D )
11A．a＋b 4211C．a＋b 24
12
B．a＋b 3321D．a＋b 33
2→2→→21→1→11→→→
[解析] AF＝AC＋CF＝a＋CD＝a＋(OD－OC)＝a＋(BD－AC)＝a＋(b－a)＝a＋
333223321
(b－a)＝a＋b．
33
→→→→
4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上．若CD＝4BD＝sAB－rAC，则s＋r等于( C ) A．0 8C． 3
4B． 3D．3
→→→→→→→1→→→1→→→
[解析] 由题意可得，CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC
33
4
4→4→＝AB－AC， 338∴s＋r＝．
3二、填空题
1145．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝
3221a－b＋c ．
2113
[解析] ∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，
32227211411
∴x＝a－b＋c.∴x＝a－b＋c． 23222177
1→→→→→
6．如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝ (b－
41717
a) .(用a、b表示)．
→→→→
[解析] MN＝MB＋BA＋AN 1→→3→＝－BC＋BA＋AC
24
1→→3→→13
＝－AD－AB＋(AB＋AD)＝－b－a＋(a＋b)
2424111
＝b－a＝(b－a)． 444三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
[证明] 在△BCD中， ∵G，F分别是CD，CB的中点， →1→→1→∴CG＝CD，CF＝CB．
22
5