第五章?矩阵的特征值
和特征向量
来源：线性代数精品课程组????作者：线性代数精品课程组
1．教学目的和要求：
(1)?理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.
(2)?了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3)?了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点：
(1)?会求矩阵的特征值与特征向量. (2)?会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容：
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.
§1?矩阵的特征值和特征向量
定义1??设
是一个阶方阵，
是一个数，如果方程
???????????????????????????????????(1)
的一个特征值，相应的非零解向量
称为属于特征值
的特征向量．
??????????????????????? ????存在非零解向量，则称???（1）式也可写成， ?????????????????????????
为
??????????????????????????????????(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 ?????????????????????????
,??????????????????????????????????? (3)
?即??? ????
?????上式是以项式，记作
为未知数的一元，称为方阵
次方程，称为方阵
???????????????????? 的特征方程．?其左端
是
的
次多
的特征多项式．
???????? ????????=
==??
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重
有个特征值．
由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
?的一个特征值，则重根，则
称为
一定是方程的
重特征根．方程?
的根,?因此又称特征根，若
为方程
根按重数计算），因此，阶矩阵
设阶矩阵（ⅰ）（ⅱ）若
为的
相应于
的特征值为
的每一个非零解向量都是
的特征向量，于是我们可以得到求矩阵
的特征多项式
；
的全部特征值和特征向量的方法如下：
?????第一步：计算
?????第二步：求出特征方程?????第三步：对于的一个基础解系??????????
的每一个特征值
，则
的全部根，即为的全部特征值；
，求出齐次线性方程组：
的全部特征向量是
是不全为零的任意实数）．
的属于特征值（其中
例1? 求解??
的特征多项式为
的特征值和特征向量.
=
所以
的特征值为
得
?????当=2时，解齐次线性方程组
解得因此，属于
令=1，则其基础解系为：= .
=2的全部特征向量为：
当=4时，解齐次线性方程组得令=1，
则其基础解系为：[注]：若
是
的属于
因此的属于=4的全部特征向量为
也是对应于
的特征向量，则的特征向量，因而特征向量不能由
特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2? 求矩阵
??????????解?
的特征多项式为
的特征值和特征向量.
??????????所以对于
的特征值为=
==
=2（二重根），
=?
. ．由
，
=2，解齐次线性方程组
????????，
得基础解系为：因此，属于对于
=
????
=2的全部特征向量为：
不同时为零.
．由
，解齐次线性方程组
?????????，