板块一.直线与椭圆(2)
1．椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：
x2y2①2?2?1(a?b?0)，焦点是F1(?c，0)，F2(c，0)，且c2?a2?b2． aby2x2②2?2?1(a?b?0)，焦点是F1(0，?c)，F2(0，c)，且c2?a2?b2． abx2y23．椭圆的几何性质（用标准方程2?2?1(a?b?0)研究）：
ab⑴范围：?a≤x≤a，?b≤y≤b；
⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的A1，A2，B1，B2； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A1A2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段
B1B2．
⑸椭圆的离心率：e?c，焦距与长轴长之比，0?e?1，e越趋近于1，椭a圆越扁；
反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．
yB2x=-acay=bMF1ObB1y=-bF2x=aA1A2x
4．直线l：Ax?By?C?0与圆锥曲线C：f(x，y)?0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
1
设直线l：Ax?By?C?0，圆锥曲线C：f(x，y)?0，由?消去y（或消去x）得：ax2?bx?c?0．
?Ax?By?C?0
f(x，y)?0?若a?0，??b2?4ac，??0?相交；??0?相离；??0?相切．
若a?0，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为，则弦长公式为(x1，y1)，(x2，y2)?1?|AB|?1?kx1?x2?1???y1?y2．
?k?22两根差公式：
如果x1，x2满足一元二次方程：ax2?bx?c?0，
cb2?4ac??b?2则x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?????4??（??0）． ?aaaa??26．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
典例分析
x2y2【例1】 设椭圆C∶2?2?1(a?b?0)过点M2，1，且左焦点为F1?2，0
ab⑴求椭圆C的方程；
1?的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，⑵当过点P?4，在线段AB上取点uuuruuuruuuruuurQ，满足AP?QB?AQ?PB，证明：点Q总在某定直线上．
????【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答
【关键字】2008年，安徽高考
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?c2?2?1x2y2?222b?2，所求椭圆方程为?【解析】⑴由题意：?2?2?1，解得a?4，?1；
ab42?222??c?a?b⑵法一：
设点Q，A，y)，(x1，y1)，(x2，y2)． B的坐标分别为(x，uuuruuurAPAQuuuruuuruuuruuur由题设知AP，PB，AQ，QB均不为零，记??uuur?uuur，则??0且??1，
PBQBuuuruuuruuuruuurAQ??QB， 又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB，于是4?x1??x2y??y2x??x2y??y2，1?1，得x?1，y?1． 1??1??1??1??22x12??2x2y12??2y2从而?4x，LL① ?y，LL② 221??1??22?2y2?4 ④ 又点A、B在椭圆C上，即x12?2y12?4 ③ x2①?②?2并结合③，④得4x?2y?4，即点Q?x，y?总在定直线2x?y?2?0上． 法二：
uuuruuuruuuruuur设点Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设，PA，PB，AQ，QB均不为零．且uuuruuurPAPBuuur?uuur， AQQBuuuruuuruuuruuurPB??BQ(??0，?1)， 又P，A，Q，B四点共线，可设PA???AQ，于是x1?4??x1??y ① ，y1?1??1??4??x1??y ② x2?，y2?1??1??由于A?x1，y1?，B?x2，y2?在椭圆C上，将①，②分别代入C的方程x2?2y2?4，整理得x2?2y2?4?2?4?2x?y?2???14?0 ③
???x2?2y2?4??2?4?2x?y?2???14?0 ④
④?③得8?2x?y?2???0，
∵??0，∴2x?y?2?0，即点Q?x，y?总在定直线2x?y?2?0上．
x2y2【答案】⑴椭圆方程为??1；
42y)，(x1，y1)，(x2，y2)． ⑵设点Q，A，B的坐标分别为(x，uuuruuurAPAQuuuruuuruuuruuur由题设知AP，PB，AQ，QB均不为零，记??uuur?uuur，则??0且??1，
PBQBuuuruuuruuuruuurAQ??QB， 又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB， 3