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-Tn=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2]=3× Tn=3n·2.
n+2
234n+1n+2
- -
- =-3n·2.所以
n+2
考点二 数列的综合应用
1.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2
这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D
2.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n+n. (1)求q的值;
(2)求数列{bn}的通项公式.
解析 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,
所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8 =20,解得q=2或q=,因为q>1,所
以q=2.
(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.
解得cn=4n-1. 由cn=
- - 由(1)可知an=2,所以bn+1-bn=(4n-1)· 故bn-bn-1=(4n-5)· -
-
n-1
2
2
-
,
,n≥2,
bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)·
+(4n-9)·
-
+…+7·+3.
-
设Tn=3+7·+11· +…+(4n-5)·
,n≥2,
-
Tn=3·
+7·
-
+…+(4n-9)·
-
+(4n-5)·
-
-
,所以
Tn=3+4·+4· +…+4· -(4n-5)· -
,因此Tn=14-(4n+3)·
,n≥2,
又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·
.
C组 教师专用题组
考点一 数列求和
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1.(2017天津,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N).
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q)=12,而b1=2,所以q+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以,bn=2.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2.
(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4,有a2nb2n-1=(3n-1)×4, 故Tn=2×4+5×4+8×4+…+(3n-1)×4,
4Tn=2×4+5×4+8×4+…+(3n-4)×4+(3n-1)×4, 上述两式相减,得
-3Tn=2×4+3×4+3×4+…+3×4-(3n-1)×4 =
-
-
2
3
n
n+1
2
3
4
n
n+1
2
3
n
n-1
n
n
2
2
n
*
*
-4-(3n-1)×4=-(3n-2)×4-8. ×4+ .
-
n+1
n+1n+1
得Tn=
-
所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4+.
n+1
方法总结 (1)等差数列与等比数列中有五个量a1,n,d(或q),an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解.
(2)数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,求数列{anbn}的前n项和适用错位相减法.
2.(2015湖北,18,12分)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意有, 即
- 故 解得 或 或 - -
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(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2,故cn=于是Tn=1+ + + + +…+
-
- -
n-1
- -
,
,①
Tn= + + + + +…+ .②
①-②可得 Tn=2+ + +…+
-
-
- =3-
,故Tn=6-
-
.
*
3.(2015天津,18,13分)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=
-
,n∈N,求数列{bn}的前n项和.
*
解析 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N)时,an=a2k-1=2= ;当n=2k(k∈N)时,an=a2k=2= .
为奇数 所以,{an}的通项公式为an=
为偶数 (2)由(1)得
-
k
*
k-1
-
*
bn=
-
=
-
.设{bn}的前
n项和为Sn,则
Sn=1× +2× +3× +…+(n-1)×
+n× -
-
,
Sn=1× +2× +3× +…+(n-1)×
上述两式相减,得 Sn=1+ + +…+
+n× , -
- -
-= - - =2- - ,整理得,Sn=4-
-
.
所以,数列{bn}的前n项和为4-
,n∈N. -
*
*
4.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn= ,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3,求数列{an}的前n项和Sn.
解析 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N),
*
n-1
所以 - =2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由(1)及
bn=3
n-1
知an=cnbn=(2n-1)3,于是数列{an}的前
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n-1
n项和
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0
1
2
n-1
1
2
n-1
n
Sn=1·3+3·3+5·3+…+(2n-1)·3,3Sn=1·3+3·3+…+(2n-3)·3+(2n-1)·3,-2Sn=1+2·(3+3+…+3)-(2n-1)·3=-2-(2n-2)3,所以Sn=(n-1)3+1.
1
2
n-1
n
n
n
相减得
5.(2014山东,19,12分)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(-1)
n-1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)因为S1=a1,S2=2a1+S4=4a1+
×2=2a1+2,
×2=4a1+12,
2
所以由题意得(2a1+2)=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1. (2)bn=(-1)
n-1
n-1
=(-1)
n-1
-
=(-1) . - 当n为偶数时,
Tn= - +…+ - - - - =1-
=
.
当n为奇数时, Tn= - +…-
- -
+
+
-
+
=1+
=
.
所以
Tn=
为奇数 -
或 -
为偶数
考点二 数列的综合应用
1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N},B={x|x=2,n∈N}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为 . 答案 27
2.(2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N,q∈(1, ],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).
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*
*
n
*
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解析 (1)由条件知an=(n-1)d,bn=2.
n-1
因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立, 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得≤d≤.
因此,d的取值范围为 .
(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1q.
若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1q|≤b1(n=2,3,…,m+1). 即当n=2,3,…,m+1时,d满足
n-1
n-1
n-1
- - -
m
b1≤d≤ - b1.
-
因为q∈(1, ],所以1 - - - b1≤0, - b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立. - 因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列 - - - 的最大值和数列 = = - - 的最小值(n=2,3,…,m+1). , ①当2≤n≤m时, - - - - - - - - - - - m - n - n 当1 - - - - - - nn-1 单调递增, 的最大值为 x - . x ②设f(x)=2(1-x),当x>0时, f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2<0. 所以f(x)单调递减,从而f(x) - - = - ≤ - =f <1. - 因此,当2≤n≤m+1时,数列 - 单调递减, 故数列 - - 的最小值为. - 因此,d的取值范围为 * . 2n+2 3.(2015安徽,18,12分)设n∈N,xn是曲线y=x(1)求数列{xn}的通项公式; (2)记Tn= … ,证明:Tn≥ . - +1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. 10 / 15