2019年高中数学·第一轮复习 第12讲 导数的概念及运算

第12讲 导数的概念及运算

1.导数的概念

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数

一般地,称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

Δx0lim →f(x0+Δx)-f(x0)Δy

=lim 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)

ΔxΔx→0Δx0

=lim →

Δx0

f(x0+Δx)-f(x0)Δy

=lim . ΔxΔx→0Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)=lim →Δx0f(x+Δx)-f(x)为f(x)的导函数.

Δx2.基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1) f(x)=ln x(x>0) 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f(x)?f′(x)g(x)-f(x)g′(x)(3)?(g(x)≠0). ?g(x)?′=[g(x)]2

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn1 -f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a f′(x)=ex 1f′(x)= xln a1f′(x)= x(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

(教材习题改编)函数y=xcos x-sin x的导数为( ) A.xsin x C.xcos x

B.-xsin x D.-xcos x

解析:选B.y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. (教材习题改编)函数y=f(x)的图象如图,则导函数f′(x)的大致图象为( )

解析:选B.由导数的几何意义可知,f′(x)为常数,且f′(x)<0. 已知函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( ) 19A.

313C.

3

16B.

310D.

3

10

解析:选D.f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,所以a=. 3

(教材习题改编)函数y=xln x与x轴的交点为P,则曲线y=xln x在点P处的切线方程为________.

解析:由y=0得xln x=0,即x=1, 所以P点的坐标为(1,0).

又y′=ln x+1,所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x=1=ln 1+1=1. 故切线方程为y=x-1. 答案:y=x-1

若曲线y=ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.

解析:设P(x0,y0),因为y=ex,所以y′=-ex,

所以点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2, 所以-x0=ln 2,所以x0=-ln 2,

所以y0=eln 2=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2). 答案:(-ln 2,2)

导数的计算

[典例引领]

求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; 1

(2)y=ln x+;

xcos x(3)y=x.

e

【解】 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. 1111ln x+?′=(ln x)′+??′=-2. (2)y′=?x???x?xx

cos x?(cos x)′e-cos x(e)′sin x+cos xx(3)y′=?′==-. x2?e?(e)ex

x

x

[注意] 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.

[通关练习]

1.已知f(x)=x(2 017+ln x),若f′(x0)=2 018,则x0=( ) A.e2 C.ln 2

解析:选B.因为f(x)=x(2 017+ln x), 所以f′(x)=2 017+ln x+1=2 018+ln x, 又f′(x0)=2 018,

所以2 018+ln x0=2 018,所以x0=1.

B.1 D.e

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