小学数学奥数测试题-圆与扇形-2015人教版

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?EF?GH?3?3?2?4.5

63.5.83

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,AD?8cm,AB?10cm,?DAB?30?,所以 S扇形EAB?S扇形FCD?102π? S扇形DAM?S扇形BCN?82π?30?25?π?cm2?, 360?330?16?π?cm2?. 360?3ABCD 因为平行四边形ABCD的高CH?4cm,所以S?10?4?40?cm2?.

由图中可看出,扇形EAB与FCD的面积之和,减去平行四边形ABCD的面积,等于曲边四边形DFBE的面积;平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积,等于曲边四边形DMBN的面积.则

S阴影?S曲边四边形DFBE?S曲边四边形DMBN ??2S扇形EAB?SABCD???SABCD?2S扇形DAM?

?2??S扇形EAB?S扇形DAM?SABCD?

16?25??41??2??π?π?40??2???3.14?40??5.83?cm2?.

3?3??3?64.4.47或2.31

【解析】如上图:因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的,所以这个圆的运动情况有两种可能.一种是圆滚动了不足一圈,根据P点的初始位置和终止位置,可知圆滚动了270o.另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈,在第二条直线上又滚动了将近一圈,根据P点的初始位置和终止位置,可知圆滚动了270??360??630?.

因为两条线段共长30厘米,所以270o的弧长或者630o的弧长再加上两个半径是30厘米. 2πr?270630或者2πr?所以圆的半径是4.47厘米或2.31?2r?30(厘米),?2r?30(厘米),

360360厘米. 65.110.25

【解析】如图1所示,使A?B?BC??C?D??D?A??12?3?9(厘米),则正方形A?BC?D?的面

??3(厘米),则正方形积为9?9?81 (平方厘米).如图2所示,使AA??BB??CC??DD1A?B?C?D?的面积为12?12?4??3?(12?3)?90(平方厘米).

2??D?.?观察图3可知如图3所示,连结AC交曲线于点A?,使A?B??B?C?CDA(厘米).(注:A?B?的长度在(10.5?0.2)厘米之间均可.)于是正方形A?B??12?1.?510.A?B?CD?的面积为10.5?10.5?110.25(平方厘米).

因为81?90?110.25,所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米. 66.8π;24π+15

【解析】如图所示,A点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧,所以路线的总长度为: 2π?6?120?2?8π厘米; 360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形,面积

答案第19页,总32页

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为:π?62?67.2512 【解析】

120?2?15?24π?15平方厘米. 36030A10B2010C

如图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,其中A是半径30米的C分别是半径为20米和10米的

3个圆,B,41个圆. 4311所以羊活动的范围是π?302??π?202??π?102?

444311???π??302??202??102??

444???2512.

68.4.5

【解析】面积?圆心角为60?的扇形面积?半圆?空白部分面积(也是半圆)?圆心角为60?的扇形面积?603?π?32?π?4.5(cm2). 360269.0.6775

【解析】如图,顺时针旋转后,A点沿弧AA'转到A'点,B点沿弧BB'转到B'点,D点沿弧DD'转到D'点.因为CD是C点到AB的最短线段,所以AB扫过的面积就是图中的弧A'AB与BDD'A'之间的阴影图形.

S阴影?S半圆?S空白

11S△ABC?S△BDC?S△AD'C??1?1?(平方米),

22S△ABC?S正方形ADCD'?CD2?1(平方米), 2所以,S扇形DCD'?我们推知S阴影? ?ππ1π?CD2???(平方米), 4428π ?BC2?S扇形DCD'?(S△BDC?S△ACD')2ππ1?? 282答案第20页,总32页

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?3π1? 82 ?0.6775(平方米). 70.9π 41,如4【解析】容易发现,DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的图:

A'ABDCB' 因此DC边扫过图形的面积为4π,BC边扫过图形的面积为9π. 42、研究AB边的情况.

在整个AB边上,距离C点最近的点是B点,最远的点是A点,因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间,见如图中阴影部分:

A'ABDCB' 下面来求这部分的面积.

观察图形可以发现,所求阴影部分的面积实际上是:

扇形ACA'面积+三角形A'B'C面积-三角形ABC面积一扇形BCB'面积=扇形ACA'面积

52π32π一扇形BCB'面积???4π 443、研究AD边扫过的图形.

由于在整条线段上距离C点最远的点是A,最近的点是D,所以我们可以画出AD边扫过的图形,如图阴影部分所示:

答案第21页,总32页

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A'ABDCB' 52π42π9用与前面同样的方法可以求出面积为:??π 444旋转图形的关键,是先从整体把握一下”变化过程”,即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的.先不去考虑具体数据,一定要把思路捋清楚.最后你会发现,所有数据要么直接告诉你,要么就”藏”在那儿,一定会有.

可以进一步思考,比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等,此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的. 71.1

【解析】对于这类问题,可以在初始时在小环上取一点A,观察半径OA,如图⑴,当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置,即滚动半个大圆周时,如图⑵,半径OA也运动到了与初始时相对的位置.这时OA沿大环内壁才滚动了半圈.继续进行下半圈,直到OA与初始位置重合,这时OA自身转了1圈,因此小铁环自身也转了1圈.

(1) (2)

对于转动的圆来说,当圆心转动的距离为一个圆周长时,这个圆也恰好转了一圈.所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹,发现是一个半径与小铁环相等的圆,所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长,那么小铁环转动了1圈. 72.6 【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时,由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形,所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180??60??60??60?.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了120°. 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时,这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360??60??60??90??150?.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了300o.

长方形的外圈有12个硬币,其中有4个在角上,其余8个在边上,所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动,4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.120??8?300??4?2160?,所以这枚硬币转动了2160o,即自身转动了6圈. 另解:通过计算圆心轨迹的长度,每走一个2π即滚动了一周. 73.A点,3周,6π.

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