3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
[学习目标] 1.了解二元一次不等式(组)表示平面区域的概念.2.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.会利用平面区域解决一些较简单的问题．
[知识链接]
下列说法正确的有________．
(1) 一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间； (2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标；
(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合； (4)不等式x>2或y<0不能用平面直角坐标系中的点集表示． 答案 (1)(2)(3) [预习导引]
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域： (1)开半平面
直线Ax＋By＋C＝0把坐标平面分成两部分，每一部分叫做开半平面． (2)闭半平面
开半平面与直线Ax＋By＋C＝0的并集叫做闭半平面． (3)不等式表示的区域(也称不等式的图象)
以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合叫做不等式表示的区域(或不等式的图象)． (4)二元一次不等式组所表示的平面区域每一个不等式所表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的平面区域． 2．平面区域内的点
直线l：Ax＋By＋C＝0把在坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
要点一 二元一次不等式表示的平面区域 例1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域： (1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
解 (1)画出直线x－2y＋4＝0， ∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧， 因此所求为如图所示的区域，包括边界．
(2)画出直线y－2x＝0， ∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧， 因此所求为如图所示的区域，不包括边界．
规律方法 应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域： (1)2x－3y＋6<0；(2)2x＋3y≥0；(3)y－2<0.
解 (1)2x－3y＋6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不包括边界)．
(2)2x＋3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界)．
(3)y－2<0表示直线y－2＝0下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界)．
要点二 二元一次不等式组表示的平面区域
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域：
x－2y≤3，??x＋y≤3，(1)?x≥0，??y≥0；
x－y<2，??
(2)?2x＋y≥1，
??x＋y<2.
解 (1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0， 表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，
表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；
x≥0表示y轴及其右边区域； y≥0表示x轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．
(2)x－y<2，即x－y－2<0，
表示直线x－y－2＝0左上方的区域； 2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，
表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．
规律方法 (1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示． 跟踪演练2 用平面区域表示下列不等式组．