5-5-4.余数性质（二）
教学目标
1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃9法，并运用其解题
知识点拨
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．
二、弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
例题精讲
模块一、余数性质的综合运用
【例 1】 22003与20032的和除以7的余数是________． 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】南京市，少年数学智力冬令营
【解析】 找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2
的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003?23?667?2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5．
【答案】5
22008?20082除以7的余数是多少？ 【巩固】
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
23?8除以7的余数为1，2008?3?669?1，所以22008?23?669＋1?(23)669?2，其除以7的余数为：【解析】
1669?2?2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008?20082除以7的余数为：2?1?3．
【答案】3
【巩固】 3130?3031被13除所得的余数是多少？
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，
8，1
时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，
以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以
??13的余数为12；
30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，10，1，4，3，12，9，10，
所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4； 所以3130?3031被13除所得的余数是12?4?13?3．
【答案】3
【例 2】 M、N为非零自然数，且2007M?2008N被7整除。M?N的最小值为 。 【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分
时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，
以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除
??2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M?6N能被7整除，经试算，M?N最小【解析】
值为3?2?5
【答案】5
【例 3】 11?22?33?44??20052005除以10所得的余数为多少？
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而
对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11?22?33?44??2020的个位数字，
为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字，为4， 由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．
【答案】3
【例 4】 已知n是正整数，规定n!?1?2??n，
令m?1!?1?2!?2?3!?3??2007!?2007，则整数m除以2008的余数为多少？ 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】清华附中
【解析】 m?1!?1?2!?2?3!?3??2007!?2007
?1!?（2?1）?2!?（3?1）?3!?（4?1）??2007!?（2008?1）?2!?1!?3!?2!?4!?3!??2008!?2007! ?2008!?1
2008能够整除2008!，所以2008!?1的余数是2007．
【答案】2007
【例 5】 设n为正整数，k?2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值． 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．由于21?2被
7除余2，而23?8被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于28?256被11除余3，210?1024被11除余1，所以n除以10的余数为8．可见n?2是3和10的公倍数，最小为?3,10??30，所以n的最小值为28．
【答案】28