运筹学期末习题参考范围及简要答案
1.
2.
A1 A2 A3 A4 需求
B1 30 30 B1， 20 20 B2 50 20 0 70 B3 30 30 B4 10 10 B4， 30 20 50 产量 50 60 50 50 210
3. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：
A B C 单位产品利润(元) Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 1 1 10 4 5 2 2 6 10 6 4 设备能力(台.h) 100 600 300 1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。
2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。
3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。 4)设备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。 5)如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。
6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。
解：1）建立线性规划模型为： MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x3≤100 10x1+4x2+5x3≤600 2x1+2x2+6x3≤300 xj≥0,j=1,2,3
获利最大的产品生产计划为：
X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/3
2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：
X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’ Z*=775
3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。
4）设备A的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。
5）新产品值得生产。 6）
最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60 )’ Z*=706.7
4.试建立一个动态规划模型。
某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品
p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
解：(1)设阶段变量k表示年度，因此，阶段总数n=3。
(2)状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k–1 年度末时的完好机床数量。
(3)决策变量uk，表示第k年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是sk– uk便为该年度中分配于生产产品 p2的机器台数． （4） 状态转移方程为
s? k?10.35uk?0.65(sk?uk)（5）允许决策集合,在第 k 段为 U(s)?{u0?u?s}kkkkk（6）目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则
gk(sk,uk) = 45uk + 35(sk–uk) ,
因此，目标函数为 3 R?g(s,u) ki?kkkk（7）条件最优目标函数递推方程。
f(s)?max(u(s))kkkkuk?Uk
令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化
原理有以下递推关系： {[45 uk?35(sk?uk)]?fk?1[0.35uk?0.65(sk?uk)]}（8）.边界条件为
f3?1(s3?1)?0
?第一年，第二年机器全部用于生产P2，第三年全部用于生产P1，可使三年收入最多为7676.25万元
5.求解决策问题。