1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535
3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512X P 故X的分布律为 0 0.008 分布函数 1 0.096 2 0.384 232
3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2
?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a?kk!，
其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，
试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知
1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?a?e?
故 a?e??
6
(2) 由分布律的性质知
1??P(X?k)??k?1k?1NNa?a N即 a?1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?
P(X?3,Y?3)
212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+
2223 C3 (0.6)20.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7) ?0.320 76(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)?
?P(X?3Y,? P(X?2,Y?1)1?)PX(?3Y?,
23223?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? 22(0.6)3(0.3)3?C3(0.6)20.4C130.7(0.3)? 2322(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3
=0.243
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)
?0.1?0.?1?e0 . ?1?e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
4223C15p(1?p)?C5p(1?p)
故 p?1 37
104142()?所以 P(X?4)?C5.
332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308
k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293
k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）
t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X?0)?e (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e
k2?k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 2p(1?p)m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)?32?525分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
954【解】因为P(X?1)?，故P(X?1)?.
99而 P(X?1)?P(X?0)?(?12p )4 ,91即 p?.
365?0.80247 从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?81故得 (1?p2)?
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae?|x|, ?∞ 求：（1）A值；（2）P{0 8 1??Aedx?2?Ae?xdx?2A ??0??|x|?故 A?(2) p(0?X?1)?1. 211?x1?1edx?(1?e) 2?02x11exdx?ex (3) 当x<0时，F(x)????22x101x1e?|x|dx??exdx??e?xdx 当x≥0时，F(x)????2??2021 ?1?e?x 2?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 100??,x?100, f(x)=?x2?x?100.?0,求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 1501001dx?. （1） P(X?150)??100x2328p1?[P(X?150)]3?()3? 3271224()? (2) p2?C13339(3) 当x<100时F（x）=0 当x≥100时F(x)??x??f(t)dt f(t)dt??x100 ?? ??100??xf(t)dt 100100dt?1? 100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落 在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分 9 布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 ?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)??当x>a时，F（x）=1 即分布函数 x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有 两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 ?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??5312dx? 33故所求概率为 23202221p?C3()?C3()? 333327习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现 正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 1 3 0 1 81113C1???? 322280 110 21C3????3/8 22211110 ??? 2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 10