概率论与数理统计课后习题答案 - - - - 复旦版

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.

P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512X P 故X的分布律为 0 0.008 分布函数 1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2

?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.(1) 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!,

其中k=0,1,2,?,λ>0为常数,试确定常数a.

(2) 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N, k=1,2,?,N,

试确定常数a. 【解】(1) 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?a?e?

故 a?e??

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(2) 由分布律的性质知

1??P(X?k)??k?1k?1NNa?a N即 a?1.

5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)

(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?

P(X?3,Y?3)

212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

2223 C3 (0.6)20.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7) ?0.320 76(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)?

?P(X?3Y,? P(X?2,Y?1)1?)PX(?3Y?,

23223?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? 22(0.6)3(0.3)3?C3(0.6)20.4C130.7(0.3)? 2322(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3

=0.243

7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?

【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)

P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)

?0.1?0.?1?e0 . ?1?e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p,则

4223C15p(1?p)?C5p(1?p)

故 p?1 37

104142()?所以 P(X?4)?C5.

332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,

(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)

kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308

k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)

kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293

k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)

t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;

(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)P(X?0)?e (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e

k2?k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 2p(1?p)m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)?32?525分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}.

954【解】因为P(X?1)?,故P(X?1)?.

99而 P(X?1)?P(X?0)?(?12p )4 ,91即 p?.

365?0.80247 从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?81故得 (1?p2)?

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求:(1)A值;(2)P{0

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1??Aedx?2?Ae?xdx?2A

??0??|x|?故 A?(2) p(0?X?1)?1. 211?x1?1edx?(1?e) 2?02x11exdx?ex (3) 当x<0时,F(x)????22x101x1e?|x|dx??exdx??e?xdx 当x≥0时,F(x)????2??2021 ?1?e?x

2?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为

100??,x?100,

f(x)=?x2?x?100.?0,求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;

(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F(x). 【解】

1501001dx?. (1) P(X?150)??100x2328p1?[P(X?150)]3?()3?

3271224()? (2) p2?C13339(3) 当x<100时F(x)=0

当x≥100时F(x)??x??f(t)dt f(t)dt??x100 ?? ??100??xf(t)dt

100100dt?1? 100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落

在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分

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布函数.

【解】 由题意知X~∪[0,a],密度函数为

?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F(x)=0 当0≤x≤a时F(x)??当x>a时,F(x)=1

即分布函数

x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有

两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即

?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??5312dx? 33故所求概率为

23202221p?C3()?C3()? 333327习题三

1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现

正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: X 0 1 2 3 Y 1 3 0 1 81113C1???? 322280 110 21C3????3/8 22211110 ??? 2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: X 0 1 2 3 Y 10

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