题11图
【解】fX(x)??????f(x,y)dy
x?y?2x,?0x?1?1d ????x
?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,
y?其他.?0,??所以
?1|x?1,f(x,y)?,|y? fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1 ?x?1,?1?y, y?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x? 1,fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码
为X，最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 Y P{X?xi} X 1 11 ?C310522 ?C310533 ?C31056 10 16
2 0 11 ?3C51022 ?3C5103 101 103 0 0 11 ?2C5106 10P{Y?yi} 1 103 10 (2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8 X Y 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 2 5 8 X Y P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} 0.15 0.05 0.2 0.30 0.12 0.42 0.35 0.03 0.38 (2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,y?0,fY（y）=?2
?其他.?0,（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2
0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
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题14图
(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是
??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：
P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x2习题四
1.设随机变量X的分布律为
X ??1 0 1
2 P 1/8 1/2 1/8
1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 11111【解】(1) E(X)?(?1)??0??1??2??;
8284211115(2) E(X2)?(?1)2??02??12??22??;
828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 423245C5C1C10C3C10C90C10C1C109010C909090?0.583 ?0.340 ?0.070 ?0.007 ?0 ?0555555C100C100C100C100C100C100 18
故 E(X)?0.5?83?0 ?0.50 1, D(X)??x[i?EX(i?0520.?3?401?0.?070?2??0.0?0?7 3)Pi]
0.?583?(120.?501?)?0.?34?02
2?(0?0.501?)?0.432.
(?50.501)0
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任
取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}
k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n??E(X)?.NNN?kP{X?k}k?0N
5.设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??xdx??x(2?x)dx
01121223?13??2x? ??x???x???1.
3?1?3?0?E(X2)??????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?01127 61故 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?.
66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.
【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1
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?2?5?3?11?1? 44(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y?)E(?Z)4E( X) ?11?8?4?5?6 87.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，
求E（3X??2Y），D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
(2) D(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k,0?x?1,0?y?x,?0,其他.
试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因??????????f(x,y)dxdy??1x10dx?0kdy?2k?1,故k=2 E(XY)??????1x?????xyf(x,y)dxdy??0xdx?02ydy?0.25.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f）=??2x,0?x?1,?e?(y?5),y?5,X（x?0,其他; fY（y）=??0,其他.
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值
E(X)??10x?2xd?x23 , E(Y)????5ye?(y?5)yd令z?y?5?5???z0ez?d????z0zze?d??5 16.由X与Y的独立性，得
E(XY)?E(X)?E(Y)?23?6?4.
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为y)?f?2xe?(y?5)f(x,,0?x?1,y?5,X(x)?fY(y)???0,其他,
于是
E(XY)????5?10xy?2xe?(y?5)dxdy??12x2dx???0?ye?(y?5)dy?253?6?4.
10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2x,x?0,?4e?4yf,y?0,X（x）=??0,x?0; fY（y）=??0,y?0.
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