概率论与数理统计课后习题答案 - - - - 复旦版

题11图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

x?y?2x,?0x?1?1d ????x

?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,

y?其他.?0,??所以

?1|x?1,f(x,y)?,|y? fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1 ?x?1,?1?y, y?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x? 1,fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码

为X,最大的号码为Y.

(1) 求X与Y的联合概率分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 Y P{X?xi} X 1 11 ?C310522 ?C310533 ?C31056 10 16

2 0 11 ?3C51022 ?3C5103 101 103 0 0 11 ?2C5106 10P{Y?yi} 1 103 10 (2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立

13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 2 5 8 X Y 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 (1)求关于X和关于Y的边缘分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】(1)X和Y的边缘分布如下表 2 5 8 X Y P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} 0.15 0.05 0.2 0.30 0.12 0.42 0.35 0.03 0.38 (2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为

1??e?y/2,y?0,fY(y)=?2

?其他.?0,(1)求X和Y的联合概率密度;

(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】(1) 因fX(x)??? fY(y)???2

0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

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题14图

(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y, 从而方程有实根的概率为:

P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.??dx?1x2习题四

1.设随机变量X的分布律为

X ??1 0 1

2 P 1/8 1/2 1/8

1/4 求E(X),E(X2),E(2X+3). 11111【解】(1) E(X)?(?1)??0??1??2??;

8284211115(2) E(X2)?(?1)2??02??12??22??;

828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4

22.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 423245C5C1C10C3C10C90C10C1C109010C909090?0.583 ?0.340 ?0.070 ?0.007 ?0 ?0555555C100C100C100C100C100C100 18

故 E(X)?0.5?83?0 ?0.50 1, D(X)??x[i?EX(i?0520.?3?401?0.?070?2??0.0?0?7 3)Pi]

0.?583?(120.?501?)?0.?34?02

2?(0?0.501?)?0.432.

(?50.501)0

4.袋中有N只球,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋中任

取1球为白球的概率是多少?

【解】记A={从袋中任取1球为白球},则

P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}

k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n??E(X)?.NNN?kP{X?k}k?0N

5.设随机变量X的概率密度为

?x,0?x?1,?f(x)=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E(X),D(X). 【解】E(X)??????xf(x)dx??xdx??x(2?x)dx

01121223?13??2x? ??x???x???1.

3?1?3?0?E(X2)??????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?01127 61故 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?.

66.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望. (1) U=2X+3Y+1; (2) V=YZ??4X.

【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1

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?2?5?3?11?1? 44(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y?)E(?Z)4E( X) ?11?8?4?5?6 87.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,

求E(3X??2Y),D(2X??3Y). 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.

(2) D(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??k,0?x?1,0?y?x,?0,其他.

试确定常数k,并求E(XY). 【解】因??????????f(x,y)dxdy??1x10dx?0kdy?2k?1,故k=2 E(XY)??????1x?????xyf(x,y)dxdy??0xdx?02ydy?0.25.

9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为

f)=??2x,0?x?1,?e?(y?5),y?5,X(x?0,其他; fY(y)=??0,其他.

求E(XY).

【解】方法一:先求X与Y的均值

E(X)??10x?2xd?x23 , E(Y)????5ye?(y?5)yd令z?y?5?5???z0ez?d????z0zze?d??5 16.由X与Y的独立性,得

E(XY)?E(X)?E(Y)?23?6?4.

方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为y)?f?2xe?(y?5)f(x,,0?x?1,y?5,X(x)?fY(y)???0,其他,

于是

E(XY)????5?10xy?2xe?(y?5)dxdy??12x2dx???0?ye?(y?5)dy?253?6?4.

10.设随机变量X,Y的概率密度分别为

?2e?2x,x?0,?4e?4yf,y?0,X(x)=??0,x?0; fY(y)=??0,y?0.

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