课时作业22 平面向量数量积的物理背景及其含义
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a＝|a|；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)＝a·b. A．1 C．3
B．2 D．4
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解析：显然①②③正确；|a·b|≥a·b，④错误；(a·b)＝(|a|·|b|cosθ)＝
a2·b2cos2θ≠a2·b2，⑤错误，选C.
答案：C
→→
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于( ) A．－16 C．8
解析：方法一：因为cosA＝
B．－8 D．16
AC， AB→→→→→2
故AB·AC＝|AB||AC|cosA＝|AC|＝16，故选D. →→→→
方法二：AB在AC上的投影为|AB|cosA＝|AC|， →→→→→2
故AB·AC＝|AC||AB|cosA＝|AC|＝16，故选D. 答案：D
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( ) A．30° C．120°
B．60° D．150°
12
解析：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|.设a与b的夹角为θ，
212－|b|2a·b1
则cosθ＝＝2＝－，故θ＝120°.
|a||b||b|2
答案：C
→→→→
4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．直角梯形
B．菱形 D．等腰梯形
→→→→
解析：由AB＝DC得四边形ABCD中一组对边平行且相等，由AC·BD＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．
答案：B
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为( ) 3A．－
23C．±
2
解析：∵3a＋2b与λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，
即3λ|a|＋(2λ－3)a·b－2|b|＝0. ∵a⊥b，|a|＝2，|b|＝3， ∴a·b＝0，|a|＝4，|b|＝9， 3
∴12λ－18＝0，即λ＝.
2答案：B 6.
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3B. 2D．1
→→→→
如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝( ) A．a－b B．b－a C．a＋b D．ab
→→→→
解析：因为AD⊥DC，所以AC在AD方向上的投影为|AC|cos∠CAD＝|AD|，因为AB⊥BC，→→→→→→→→→→
所以AC在AB方向上的投影为|AC|cos∠CAB＝|AB|，所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－→→→→→→
AC·AB＝|AD||AD|－|AB||AB|＝b2－a2.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
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7．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝3，则(2a－3b)·(2a＋b)＝________. 解析：原式＝4a－4a·b－3b＝4×4－4×3－3×16 ＝－44. 答案：－44
8．若e1，e2是夹角为________．
ππ1
解析：因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝3321
， 2
|a|＝a＝(2e1＋e2)＝4e1＋4e1·e2＋e2 122
＝4×1＋4×＋1＝7，
2
|b|＝b＝(－3e1＋2e2)＝9e1－12e1·e2＋4e2 122
＝9×1－12×＋4×1＝7，
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π
的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为3
a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6e1＋e1·e2＋2e2 1722
＝－6×1＋＋2×1＝－，
22设向量a与向量b的夹角为θ，
2
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a·b1
cosθ＝＝＝－，
|a||b|27×7
又θ∈[0，π]，所以θ＝2π
答案： 3
→→
9．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．
12→→→1→→→→→1→解析：设|AB|＝x(x>0)，则AB·AD＝x.所以AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝1－x222111
＋x＝1，解得x＝，即AB的长为. 422
1答案： 2
2π. 3
7－2