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课后提升作业 十三
直线与平面垂直的判定 (45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β， 所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n； ②错误，α∥β，m⊥α?m⊥β， 因为m⊥n，则可能n?β；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n?β且m?β； ④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.
2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是 ( A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交
)
D.相交但不垂直
【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC， 又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD. 又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.
又AM?平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交. 【延伸探究】本题若将条件 “菱形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，加上条件“MA⊥BD”，判断平行四边形ABCD的形状. 【解析】因为MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以MC⊥BD，又BD⊥MA， MA∩MC=M，
所以BD⊥平面MAC，又AC?平面MAC， 所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD为菱形.
3.(2016·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中， ∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在 ( )
A.直线AC上 B.直线AB上 C.直线BC上 D.△ABC内部
【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.
4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【解析】选B.因为PB⊥α，AC?α，所以PB⊥AC， 又AC⊥PC，PB∩PC=P，
所以AC⊥平面PBC，又BC?平面PBC， 所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.
5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ( ) A. B.
C.
D.
【解析】选A.如图，设AB=a，
则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α. 因为即××
=a×
ah
，
=×a2×2a， 解得h=a. 所以sinα=
=.
6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是 ( ) A.AC=BC B.VC⊥VD C.AB⊥VC
D.S△VCD·AB=S△ABC·VO
【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD， 所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，