1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn?? x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0?函数展开成幂级数： f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数： m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式： ?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数： a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。傅立叶级数：
?
16
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx ????其中???b?1f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835 111?2?2?2???224246正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2???（相加）6234111?21?2?2?2???（相减）12234f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)??b??02?nsinnx是奇函数2???0f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)?a0??ancosnx是偶函数2 周期为2l的周期函数的傅立叶级数： 17
a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1lll?1n?xdx (n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l1n?x?b?f(x)sindx (n?1,2,3?)?nl?l?l?
微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e? dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程： 如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y) ?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程： f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2
18
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
r1，r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角?的终边上任取一点P(x,y)，记：r?x2?y2， 正弦：sin??正切：tan??正割：sec??yx 余弦：cos?? rrxy 余切：cot?? yxr x余割：csc??r y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1。 商数关系：tan??sin?cos?，cot??。 cos?sin?19
平方关系：sin2??cos2??1，1?tan2??sec2?，1?cot2??csc2?。
三、诱导公式
⑴??2k?(k?Z)、??、???、???、2???的三角函数值，等于?的同名函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵?2??、?2??、3?3???、??的三角函数值，等于?的异名函数值，22前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 sin(???)?sin??cos??cos??sin? sin(???)?sin??cos??cos??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin? tan(???)?tan(???)?tan??tan? 1?tan??tan?tan??tan? 1?tan??tan?五、二倍角公式 sin2??2sin?cos? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?…(?) tan2??2tan? 1?tan2?二倍角的余弦公式(?)有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1?cos2??2cos2? 1?cos2??2sin2? 1?sin2??(sin??cos?)2 1?sin2??(sin??cos?)2
cos2??1?cos2?1?cos2?sin2?1?sin2??，sin2??，tan??。 2sin2?1?cos2?2六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
1?tan2?2tan?2tan?cos2??sin2??tan2??，，。 2221?tan?1?tan?1?tan?
20