考研数学必备公式(不看后悔)

1x?1时,收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??  x?1时,发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时,R?求收敛半径的方法:设liman?1??,其中an,an?1是(3)的系数,则??0时,R???n??an????时,R?0?函数展开成幂级数: f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项:Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式:f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数: m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??   (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1??   (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式: ?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx   或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数: a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中,a0?aA0,an?Ansin?n,bn?Ancos?n,?t?x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分=0。傅立叶级数:

?

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a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx),周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx   ????其中???b?1f(x)sinnxdx   (n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835 111?2?2?2???224246正弦级数:an?0,bn?余弦级数:bn?0,an?111?21?2?2?2???(相加)6234111?21?2?2?2???(相减)12234f(x)sinnxdx  n?1,2,3? f(x)??b??02?nsinnx是奇函数2???0f(x)cosnxdx  n?0,1,2? f(x)?a0??ancosnx是偶函数2 周期为2l的周期函数的傅立叶级数: 17

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin),周期?2l2n?1lll?1n?xdx   (n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l1n?x?b?f(x)sindx   (n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相关概念: 一阶微分方程:y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式,解法:?g(y)dy??f(x)dx  得:G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y),即写成的函数,解法:dxxydydududxduy设u?,则?u?x,u???(u),??分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程:一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程: dy1、一阶线性微分方程:?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程,y?Ce?P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为非齐次方程,y?(?Q(x)e?dx?C)e? dy2、贝努力方程:?P(x)y?Q(x)yn,(n?0,1)dx全微分方程: 如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(x,y) ?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程: f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x), 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*)y???py??qy?0,其中p,q为常数;求解步骤:1、写出特征方程:(?)r2?pr?q?0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数;2、求出(?)式的两个根r1,r2

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3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:

r1,r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?,r2???i?4q?p2 p???,??22二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x),p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型,?为常数;f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角?的终边上任取一点P(x,y),记:r?x2?y2, 正弦:sin??正切:tan??正割:sec??yx 余弦:cos?? rrxy 余切:cot?? yxr x余割:csc??r y注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系:sin??csc??1,cos??sec??1,tan??cot??1。 商数关系:tan??sin?cos?,cot??。 cos?sin?19

平方关系:sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2?。

三、诱导公式

⑴??2k?(k?Z)、??、???、???、2???的三角函数值,等于?的同名函数值,前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限)

⑵?2??、?2??、3?3???、??的三角函数值,等于?的异名函数值,22前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限) 四、和角公式和差角公式 sin(???)?sin??cos??cos??sin? sin(???)?sin??cos??cos??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin? tan(???)?tan(???)?tan??tan? 1?tan??tan?tan??tan? 1?tan??tan?五、二倍角公式 sin2??2sin?cos? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?…(?) tan2??2tan? 1?tan2?二倍角的余弦公式(?)有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) 1?cos2??2cos2? 1?cos2??2sin2? 1?sin2??(sin??cos?)2 1?sin2??(sin??cos?)2

cos2??1?cos2?1?cos2?sin2?1?sin2??,sin2??,tan??。 2sin2?1?cos2?2六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)

1?tan2?2tan?2tan?cos2??sin2??tan2??,,。 2221?tan?1?tan?1?tan?

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