§13.3 数学归纳法
基础知识：
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
基础练习：
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.
( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.
( × )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.
( × )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项. ( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋?＋2n2＝2n3－1”，验证n＝1时，左边式子应
＋
＋
为1＋2＋22＋23.( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.
( √ )
( )
1
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于
2A.1
B.2
C.3
D.0
答案 C
解析 凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3. 111
3.若f(n)＝1＋＋＋?＋(n∈N＋)，则f(1)为
236n－1A.1
1
B. 5
D.非以上答案
( )
1111C.1＋＋＋＋ 2345
答案 C
解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
1114.设f(n)＝＋＋?＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
n＋1n＋2n＋n答案
11
－ 2n＋12n＋2
1111111＋＋?＋＋＋－(＋＋?n＋2n＋3n＋nn＋1＋nn＋1＋n＋1n＋1n＋2
解析 f(n＋1)－f(n)＝＋
111111
)＝＋－＝－. n＋n2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2
111
5.用数学归纳法证明：“1＋＋＋?＋n
232－1推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________. 答案 2k
111
解析 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋?＋k 232－1 111111 当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋?＋k＋k＋k＋?＋k＋1 232－122＋12－1左边增加了2k项. 深度分类剖析： 题型一 用数学归纳法证明等式 例1 求证：(n＋1)(n＋2)·?·(n＋n)＝2n·1·3·5·?·(2n－1)(n∈N＋). 思维启迪 证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化. 证明 ①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)＝2k·1·3·5·?·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·?·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·?·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k1·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)， ＋ 这就是说当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可知，对所有n∈N＋等式成立. 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立. (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法. 111n 用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋?＋＝. 1×33×5?2n－1??2n＋1?2n＋1 11 证明 (1)当n＝1时，左边＝＝， 1×33 11 右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立. 2×1＋13(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 111k＋＋?＋＝， 1×33×5?2k－1??2k＋1?2k＋1则当n＝k＋1时， 1111 ＋＋?＋＋ 1×33×5?2k－1??2k＋1??2k＋1??2k＋3?＝ k?2k＋3?＋1k1 ＋＝ 2k＋1?2k＋1??2k＋3??2k＋1??2k＋3? 2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝， ?2k＋1??2k＋3?2k＋32?k＋1?＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 31111 例2 已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥. 26428(1)求a的值； 11 (2)设0 2n＋1思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a； (2)利用数学归纳法证明. 323a2a2 (1)解 由题意，知f(x)＝ax－x＝－(x－)＋. 22361aa21 又f(x)max≤，所以f()＝≤. 6366所以a2≤1. 111 又x∈[，]时，f(x)≥， 428 ?所以?11 f??4?≥8，11f??≥，28 ?即?a31?4－32≥8，a31－≥，288