【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 1周期现象、 2角的
概念的推广 训练案知能提升 新人教A版必修4
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是( ) A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．第一象限角都是锐角 D．锐角都是第一象限角
解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 015盆花的颜色为( )
A．红 B．黄 C．紫 D．白
解析：选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色．
3．－495°角的终边所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.－495°＝－2×360°＋225°，因为225°是第三象限角，所以－495°是第三象限角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为( )
A．α＋β＝360°
B．α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z) C．α＋β＝k·180°(k∈Z) D．α＋β＝k·360°(k∈Z) 解析：选B.
如图所示，
因为α与β的终边关于y轴对称，
所以α角的终边逆时针旋转(180°－2α)就与β角终边重合． 所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，
1
所以α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)． 因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数， 所以α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．
解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．
答案：一 二
7．与2 015°角的终边相同的最小正角是________． 解析：因为2 015°＝5×360°＋215°， 所以215°为最小正角． 答案：215° 8．设集合M＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．
解析：对于M，当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，故M∩N＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．
解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z， 所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}， 因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′， 所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上，写出角β的集合S. 解：
如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．
所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
[B.能力提升]
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则( ) A．M＝N B．NM C．MN D．M∩N＝?
解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}， N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}． 因为k∈Z，所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数， 所以MN，故选C.
2
1
2．如图所示，变量y随x的变化呈周期性变化．在区间[－1，11]上，直线y＝与函
2
数y＝f(x)的图像交点的个数为( )
A．10 C．13 B．12 D．15
1
解析：选B.由图可知周期为2，区间[－1，11]的长度为6个周期，在每个周期内y＝
2
和y＝f(x)的交点有2个，故所求交点个数为2×6＝12.
3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．
解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
答案：270°
4．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列． 则第100个图片的颜色是________． 解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，……第5n个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第100个圆片为黑色．
答案：黑色
5．(1)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．
a．485°；b.－35°；c.770°；d.－500°.
(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．
解析：(1)a.485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．
b．－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．
c．770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．
d．－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．
(2)因为β是第四象限角，
所以－90°＋k·360°<β 6.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限． 解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z， k·180° 则θ＝，k∈Z. 7 又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°， k·180° 则67.5°<<112.5°，k∈Z， 7 所以k＝3或k＝4. 3