页眉 《高等数学》（理工类） 1.设y?f(x)的定义域为(0,1]，?(x)?1?lnx，则复合函数y?f[?(x)]的定义域为________；0?lnx?1,x?[1,e) 2.已知x?0?时，arctan3x与
ax是等价无穷小，则a?______；cosxarctan3x3??1,a?3；
x?0axasin2x?13．函数y??cos，则dy?________；2(2cos2x?sin2x)dx；
x6xlim4．函数y?xe?x?2的拐点为____________；y???e(x?2)?0,x?2，(2,2e)
?x??sinx,x??2 ，当a=____时，f(x) 在x??处连续；1??2； f(x)?5．设函数??2?a?x,x?2??yy6. 设y?y(x)是由方程e?xy?2?0所确定的隐函数，则y??__；y
e?x1??f(1)?0,f(1)?1,x?1； 7．函数f(x)?的跳跃间断点是______；x1?e1?x8．定积分
?1?1(1?x2?sinx)dx＝________；2?101?x2dx??2
9．已知点空间三个点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),则?AMB= _______；?3；
rrrr10．已知a?(2,3,1)b?(1,2,3)，则a?b＝_________。(7，?51)，
二、计算题（每小题6分，共42 分）
ln(1?x2)1?1．求极限lim。
x?0arcsin2x223sin2xesin?02．求极限=limlimx?sinxx?01?cosxx?03．设
x2sin3xetdt3x?6
y?e?sinx,求dy.。dy?exdxdx2(2xsinx?cosx)
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页眉 ??x?ln1?t2dyd2y4、设? 求以及2。
dxdx??y?arctant11dy1?t21d2y1?t22解 x?ln(1?t)，??，2??3
t2dxtdxt21?tln(lnx)5．计算不定积分?dx。
x1解 ?ln(lnx)dlnx?lnxln(lnx)??dx?lnx(ln(lnx)?1)?C
x6
、
计
算
不
定
积
分
1sec2x1113tanx?3?cos2xdx??3sec2x?1dx?3?3tan2x?4d3tanx?23arctan2?C
7．计算定积分
1?201?x(x?4)dx??(1?x)(4?x)dx??(1?x)(4?x)dx
01212??(x?5x?4)dx??022115x35x2)(x?5x?4)dx???4?(?3232221?4?3
三、证明题（每小题8分，共16 分） 1、设
f(x)在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，
f(3)?1，试证必存在??(0,3)使f?(?)?0。
证明 因为f(x)在[0,3]上连续，所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上有最大值M和最小值m。于是 m?f(0)?M,m?f(1)?M,m?f(2)?M,
f(0)?f(1)?f(2)?M, 由介值定理知至少存在c?[0,2]，使f(c)?1。
3 因为f(c)?f(3)?1，且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理存在
所以 m???(c,3)?(0,3)，使 f?(?)?0 。
2、证明不等式：当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2 。
证明 f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2，f?(x)?ln(x?1?x2)?0,x?0，
f(x)?f(0)?0，则当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2
四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）
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页眉 1．要建造一个体积为V?50m3的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所．．用的材料最省？
解 设圆柱体的半径为r，高h?501002，表面积为,， SS?2?r?2r?rS??4?r?100?0，r?2r325?，h?2325?表面积最小。
2．求曲线xy?a(a?0)，直线x?a，x?2a及x轴所围成的图形绕得到的旋转体体积。 解 Vy?2?a
y轴旋转一周所
?2aadx?2?a2
《高等数学》（理工）
一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）
1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；D；
A、2?x?1(x???)； B、
x2sinx(x?0) xx2(x?0)。 (x??)； D、C、3x?1x?2x?1?ax2x?22、设函数f(x)??在x?2处连续,则a?（ ）；A；
x?2?111； B、0； C、； D、1、 42x3、设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?0.若?(x)??f(t)dt，则下列说法正确的是（ ）；
A、
0C；
A、?(x)在[a,b]上单调减少； B、?(x)在[a,b]上单调增加； C、?(x)在[a,b]上为凹函数； D、?(x)在[a,b]上为凸函数。
4、下列不定积分计算正确的是（ ）；D；
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