1.按定义证明下列函数在其定义域连续:f(x)?|x|.
2. 指出下列函数的间断点,并说明其类型: (1).f(x)?[|cosx|]; (2) f(x)?sgn(cosx); （3）f(x)???x,x为有理数??x,x为无理数;
?1?x?7,???x??7? (4) f(x)??x, ?7?x?1?(x?1)sin1,1?x????x?1? 3.延拓下列函数,使其在R上连续.
1?cox1x3?8;f(x)?xcos. ; (2) f(x)?(1) f(x)? (3) 2xxx?2 4. 证明:若f在点x0连续,则|f|,f也在x0连续.又问:若|f|,f都在I连续,那么f在I上是否必连续. 5. 设f,g在点x0连续,证明:
(1) 若f(x0)?g(x0),则存在U(x0;?),使在其内有f(x)?g(x); (2) 若在某U0(x0)内有f(x)?g(x),则f(x)?g(x),则f(x0)?g(x0).
6．设f,g在区间I上连续。记F(x)?max{f(x),g(x)},G(x)?min{f(x),g(x)}.证明F和G都在I连续。
7．设f为R上连续函数，常数c?0,记
22??c,若f(x)??c?F(x)??f(x),若|f(x)|?c,
?c,若f(x)?c?证明F(x)在R上连续。
提示：F(x)?max{?c,min{c,f(x)}}. 8．设f(x)?sinx,g(x)???x??,x?0,证明：复合函数f?g在x?0连续，但g在x?0不连续。
?x??,x?0x?0x?0x?0x?0g(x)?lim(x??)??,limg(x)?lim(x??)???,limg(x)?lim?g(x),故g(x)在x?0不连 证：因lim?????x?0x?0续。
当x?0时，f(g(x))?sin(x??)??sinx,当x?0时，f(g(x))?sin(x??)??sinx,故f(g(x))??sinx在x?0连续。
9．设f在[a,??)上连续，且limf(x)存在。证明：f在[a,??)上有界。又问f在[a,??)上必有最大值或
x???是小值吗？
10．若对任何充分小的??0,f在[a??,b??]上连续，能否由此推出f在(a,b)上连续。 11．求极限
x1?2x?x2?1 （1）lim(??x)tanx; （2）lim. ??x?1x?1x?4 12．证明：若f在[a,b]上连续，且对任何x?[a,b]，f(x)?0,则f在[a,b]上恒正或恒负。 13．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。
14．试用一致连续的定义证明：若f,g都在区间I上一致连续，则f?g也在I上一致连续。 15．证明：f(x)?x在[0,??)上一致连续。
16．证明：f(x)?x2在[a,b]上一致连续，但在(??,??)上不一致连续。