.
Pi 1 51 61 51 1511 30解
Y 1 1 5 2 7 30 5 17 30Pi 2. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求(1) Y?eX; (2) Z??2lnX的密度函数。 解 X的密度函数为 f(x)???1, 0?x?1
?0, x?0,x?1lnxX（1）
设Y?e，则有 FY(x)?P(Y?x)?P(e?x)?P(X?lnx)?X???fX(t)dt。
所以 fY(x)?1fX(lnx)，因此当x?1及x?e时，由fX(x)?0知fY(x)?0； x?11?, 1?x?e当0?x?e时，由fX(x)?1知fY(x)?，所以所求密度函数为fY(x)??x
x?0, x?1,x?e?x?1?2?e, x?0（2）类似的可得：fZ(x)??2
?0, x?0?X3. 设X~N(0,1)，求(1) Y?e; (2) W?|X|的密度函数。
解 （1）X的密度函数为 fX(x)?12?e?x22 (???x???)， Y?eX的分布函数为
lnyFY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny)??FY(y)?0 , y?0
??fX(t)dt, y?0
?1?(Iny)1e2., y?0?X 所以 Y?e的密度函数为 fY(y)??2? y?0, y?0?（2） W?|X|的分布函数为 FW(y)?P(W?y)?P(|X|?y)
2?P(?y?X?y)?12?y?y?e?t22dt?2?y?e0?t22dt y?0
FW(y)?0 , y ?0
.
.
?2?y2?e2, y?0 所以 W?|X|的密度函数为 fW(y)???
?0, y?0??2x?, 0?x??4. 设随机变量X的概率密度为f(x)???2；求Y?sinX的概率密度。
?0, 其它?解 当0?y?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(sinx?y)
?P(0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X??)arcsiny??02x??2dx?2??arcsiny??2xdx?2arcsiny?2,
2?, 0?y?1?2 所以 fY(y)???1?y
??0, y?0,y?15. 若球的直径D的测量值在[a,b]上均匀分布，求球的体积V的概率密度。 ?1, a?d?b1?解 fD(d)??b?a , V??D3,6?0, 其它????16v???FD?36v?, FV(v)?P(?D3?v)?P?D?3?????6?????1??1?2?3?2?a3?b33?6v??6v????3???b?a?9??v, 6?v?6所以 fV(v)?fD?3??????????????0, 其它a26. 将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的
2概率。
解 长为2a的直线分成 X, 2a?X 两部分,X 在[0,2a]上均匀分布?1?, 0?x?2a fX(x)??2a , 面积 Y?X(2a?X)?0, 其它??? ?a2a2?22?P(0?Y?)?P?0?X(2a?X)??P?\0?X?a?a\ ? \a?a?X?2a\?????22?22????2a??1??2?1??a?2a?a?2 ?2a?22?四、证明题
1. 设X是取正值的随机变量，若lnX~N(?,?2),试证X 的密度函数为
.
.
?1?1?exp?(lnx??)2?,x?0?2?p(x)???x2?, 这称为对数正态分布. ?2???0, x?0?证Y?lnX~N(?,?2),X?eY,x??ey,x?0,所以X的密度为
?1?112??exp(lnx??)?fY(lnx),x?0?2?2??,x?0 p(x)?????x??x2???0, x?0??0, x?02. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。
?2e?2x， x?0??证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为f（ Xx）0, x?0? Y?1?e?2x, y??2e?2x?0,函数y单调可导,其反函数为x??ln（1?y）?1, 0?y?111?|??ln（1?y））|(?ln（1?y）
22?0, 其它12?f（由公式f（Yy）X?所以 Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的概率分布
三、计算下列各题
0?x?1，0?y?1?4xy，??1. 已知随机变量X和Y的联合密度为f（x，y）, 求X和Y0， 其它?的联合分布函数F(x,y)。
解因为F?X,Y???x?????yf(x,y)dxdy
(1)x?0或y?0时，由f(x,y)?0,得F(x,y)?0(2) 0?x?1， 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x2y200xy(3) x?1, 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?y2001y(4) 0?x?1, y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x200x1
(5) x?1, y?1时, F(x,y)?1
.
.
?0, x?0或y?0?22 0?y?1?xy, 0?x?1，?所以 F(x,y)??y2, x?1, 0?y?1
?2?x, 0?x?1, y?1?1, x?1, y?1?2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。
11C10C911C12C1111C2C4510?, P(X?1,Y?0)?110?,. 16666C12C11解. P(X?0,Y?0)? P(X?0,Y?1)?11C10C211C12C1111C2C101?, P(X?1,Y?1)?111?66C12C1166
?2g(x2?y2)?, 0?x,y?????223. 给定非负函数g(x),它满足?g(x)dx?1,又设f(x,y)???x?y,
0???0, 其它问f(x,y)是否是随机变量X和Y的联合概率密度?说明理由。
解f(x,y)是X和Y的联合概率密度只要满足f(x,y)≥0与
??????????f(x,y)dxdy?1
由于0?x,y??, x2?y2?0, g(x)非负, 所以g(x2?y2)?0, 故f(x,y)?0,
??????????f(x,y)dxdy?????????2g(x2?y2)???x2?y2dxdy?2???20d????0g(r)rdr?1 r所以f(x,y)是随机变量X和Y的联合概率密度。
??k?6?x?y?, 0?x?2,2?y?44. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为（，fx，y）????0, 其它求：（1）系数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?。
421f(x,y)dxdy?dyk(6?x?y)dx?8k?1?k?. ???????2?083113（2）P?X?1,Y?3???dy?(6?x?y)dx?.
208841.5127（3）P?X?1.5???dy?(6?x?y)dx?.
2083244?y12（4）P?X?Y?4?=P?X?1.5???dy?(6?x?y)dx?.
2083解：（1） ????.