.
cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??XY?D(X)?D(Y)，
E(XY)??XY?D(X)?D(Y)?E(X)E(Y)??所以 E(XZ)?3?4?1?0??6， 2111061E(X2)?E(XY)???， 3232311由协方差定义：cov(X,Z)?E(XZ)?E(X)E(Z)??1??0,??XZ?0；
331(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,32),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相
3互独立”，因此X与Z相互独立。
8. 设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=求E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)。
解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1；
D(X?Y?)Z??E( ?E111，?XZ=?，?YZ=，222X??Y)Z?(E?X)? ?Y2Z222 X?E(X)?Y?E(Y)?Z?E(Z)????????2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)??
?D(X)?D(Y)?D(Z)?2cov(X,Y)?2cov(Y,Z)?2cov(Z,X)
?3?211?1?1?1?21?1?2???1?1?4。 22?2?9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N(?,?2)，令???X??Y，???X??Y（?,?为不相等的常数），求随机变量?与?的相关系数???，并说明当?,?满足什么条件时，?,?不相关。
解：（1）依题意，有 E(X)?E(Y)??,D(X)?D(Y)??2，且Cov(X,Y)?0． 因为 ????co?v?(,)E???(E?)E?()(， ?D(?)D?()D?()?D())而 E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(，? E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(．? E(??)?E(?X?由方差公式可求出
?Y)(?X??Y?)22E(?X?22?Y?)22?E(?X)2，? E(Y).
.
2 E(X)?D(?X)22222E(??X)??， 同理可得 E(Y)????，
所以 E(??)??2(?2??2)??2(?2??2)?(?2??2)(?2??2)． 又 D(?)?D?(X??Y)?2?D(X?)2?综合上述结果，可得 ????，同理有D(?Y)2?(?2??)D(?)?(?2??2)?2，
(?2??22)?(???2)??(????)?(?2(?2??2)?(??2?)?22?)??2(?2?2?)? 2?2?2(???)?2??2?2222（2）若?,?不相关，则????0，因此????0，又???，则????时?,?不相关。
四、证明题
设X,Y是随机变量，U?aX?b,V?cY?d.其中a,b,c,d为常数，且a,c同号.证明：?UV??XY
证 ?UV?Cov(aX?b,cY?d)acCov(X,Y)???XY.D(aX?b)D(cY?d)acD(X)D(Y)
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
三、计算题
1.设在每次实验中事件A以概率0.5发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内？ 解：设X表示1000次试验中A出现的次数，
则 X~B(1000, 0.5), E(X)?500, D(X)?250，由切比雪夫不等式有
P{400?X?600}?P{|X?500|?100}?1?250?0.975 1002所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内.
2.将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X，估计概率P{10?X?18}。
.
.
解：设Xi为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：?所以 E(Xi)?23456??Xi1?，
?P1/61/61/61/61/61/6?121， (1?2?3?4?5?6)?66191E(Xi2)?(1?4?9?16?25?36)?，
6691?21?35D(Xi)?E(Xi2)?E2(Xi)?????；
6?6?12依题意 X?2?Xi,?E(X)?4?i?1473535?14,D(X)?4??，所以 2123P{10?X?18}?P{10?14?X?14?18?14}
?P{|X?14|?4}?1?3. 设Xi(i?1,2,5035/3?0.271. 24,50)是相互独立的随机变量, 且服从参数??0.03的泊松分布,记
Z??Xi，利用中心极限定理，求P{Z?3}。
i?1解：
P??3???.
?????Z?5???5??????????Z14．设某部件由10个部分组成，每部分的长度Xi为随机变量，X1,X2,,X10相互独立同
分布，E(Xi)?2毫米，D(Xi)?0.5毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。 解：设总长度为T?10?Xi，
i?11010则 E(T)??E(Xi)?2?10?20，D(T)??D(Xi)?(0.5)2?10?2.5，
i?1i?1近似由林德贝格—列维中心极限定理，知 TN(20,2.5)，所以合格的概率为：
21?20P2?1T}??{19?}?2.5?1920( )2.5()0?1T? P{2??20?1P}?T?{.
.
?2?(1)?1?2?(0.63)?1?2?0.7357?1?0.4714. 2.55．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。
解：设Xi为选择第i题所得到的分数，由题设，Xi服从分布
?Xi??P另
1??,(i?1,2,3/41/4?设
总
得
分
0,100)，
为
X，则
X? 1X? 2X?)?X且，
25, X~B(1140EX0?,D X ?475)， , (由德莫弗–拉普拉斯定理
?X?2535?25?近似?20?P?X?35??1?P?X?35??1?P??????1????，
75/4??75/4?75?查正态分布表可得
P?X?35????1???2.13??1?0.9896?0.0104.
6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n至少多大才能保证系统可靠度为0.95？ 解：（1）设X为系统中正常运行完好的元件数，
则X~B(100, 0.9), E(X)?90, D(X)?9，由德莫弗—拉普拉斯定理，
近似5?X?9085?90?P{X?85}?1?P{X?85}?1?P????1??(?)?0.952.
39??9（2）已知 P(X?0.8n)?0.95，求满足条件的n，
其中 X~B(n,0.9), E(X)?0.9n, D(X)?0.09n，同（1）解法，
n?X?0.9n0.8n?0.9n?P?X?0.8n??1?P?X?0.8n??1?P?????()?0.95，
30.09n??0.09n.
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查正态分布表可得： n?1.65, ? n?24.5，取n?25即可. 37. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （1）写出X的概率分布；
（2）用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值. 解：（1）X服从二项分布，参数：n?100,p?0.2，即X~B(100,0.2)，其概率分布为
kP(X?k)?C1000.2k0.8100?k, k?0,1,,100；
（2）E(X)?np?20, D(X)?np(1?p)?16，根据德莫弗–拉普拉斯定理
X?20?14?20X?2030?20???P?14?X?30??P????P?1.5??2.5???44?4?4????(2.5)??(?1.5)??(2.5)?[1??(1.5)] ??(2.5)??(1.5)?1?0.994?0.933?1?0.927.
8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。
解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布B(500,0.006)，由题设，保险公司1年的收益为 Y?500?800?50000?X，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为
P{Y?200000}?P{500?800?50000?X?200000}?P{X?4}，
从而由德莫弗－拉普拉斯定理
?4?500?0.006??1?P{X?4}???????????0.579??0.719.
?500?0.006?0.994??2.982?9．某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？
2解：设X为改进后的灯泡的寿命，由题设，E(X)?2250, D(X)?250，又设n为使检
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