题7.18：如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1 = Q3 = Q。求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功。
题7.18分析：由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q3
外力作功W?应等于电场力作功W的负值，即W???W。求电场力作功的方法有两种，（l）根据功的定义，电场力作的功为
W??0?Q2E?dl
其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度。（2）根据电场力作功与电势能差的关系，有
W?Q2(V0?V?)?Q2V0
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势（取无穷远处为零电势）。 解1：由题意Q1所受的合力为零
Q1Q24??0d2?Q1Q34??0(2d)2?0
解得Q2??Q3??Q
4411由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
E?E1y?E3y?Qy2??0(d2?y)232
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处（沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？），外力所作的功为
W???Q2E?dl???0??0Qy?1???Q??223?4?2??0(d?y)2dy?Q28??0d
1解2：与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q。并由电势的叠加得Q1、Q3
4在点O电势
V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d
将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功
W???Q2V0?Q28??0d
比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁。这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多。
题7.19：已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
E??2??0rer, ?为电荷线密度。（1）求在r = r1和r = r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电
??场中，我们曾取r明，
处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说
题7.19解：（1）由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有 U12??r2r1E?dr??2??0lnr2r1
（2）不能。严格地讲，电场强度E荷分布在无限空间。r????2??0rer只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电
处的电势应与直线上的电势相等。
题7.20：如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为R1和R2，圆环均匀带电，电荷面密度为?（? > 0）。（1）计算通过环中心垂直于环面的轴线上一点的电势；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多少？ 题7.20分析：（1）如图所示，将薄金属环分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用细环轴线上一点的电势公式，根据电势叠加原理 ，将这些不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势相加，即可得到轴线上的电势分布。
（2）由轴上电势分布的结果可知，在圆环中心处（x = 0）电势V有极大值，当质子从无穷远处射向圆环时，电势能逐渐增加，而质子的动能随之减少。若要使质子穿过圆环，则质子在圆环中心处Ek ? 0。根据能量守恒定律，可求出电子所需初速度的最小值。 解：（1）在环上割取半径为r、宽度为 dr的带电细回环，其所带电荷为
dq??dS??2?rdr
它在轴线上产生的电势为
dV?dq4??0(x?r)2212??rdr2?0(x?r)2212
薄金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加
V?R2R1??rdr2?0(x?r)2212??2?0[R2?r22?R1?r]
22 （2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek?0，开始时质子的初速率应满足
e?12mv0?e(V0?V?)?02
即v0??0m(R2?R1)
上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于
e??0m(R2?R1)
题7.21：两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？ 题7.21分析：通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由VP???PE?dl可求得电势分布。
（2）利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为
V?Q4??0r
在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
V?Q4??0R
其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势在加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。 解1：（l）由高斯定理可求得电场分布
E1?0r?R1Q14??0r4??0r2
E2?E3?ererR1?r?R2r?R2
Q1?Q22由电势V?V1???rE?dlR2R1可求得各区域的电势分布。当r?R1时，有
E2?dl??R1rE1?dl????R2E3?dl?0?Q1?11?Q1?Q2?????4??R4??0?RR2?02?1?Q24??0R2
?Q14??0R1当R1?r?R2时，有
V2???R2rE2?dl???R2E3?dlQ1?11?Q1?Q2?????4??R4??0?rR2?02?Q14??0r?Q24??0R2
?当r?R2时，有
V3????rE3?dlQ1?Q24??0R2
r（2）两个球面间的电势差
U12??R2R1E2?dl?Q1?11?????4??0?R1R2??
解2：（l）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即r?R1，则
V1?Q14??0R1?Q24??0R2
若该点位于两个球面之间，即R1?r?R2，则
V2?Q14??0r?Q24??0R2
若该点位于两个球面之外，即r?R2，则
V3?Q1?Q24??0R2r
（2）两个球面间的电势差
U12?V1?V2r?R2?Q14??0R1?Q14??0R2
题7.22：一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为?。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线
分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称。选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理
1?E?dS??0?V?dV
可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义
Va?Vb??baE2?dl
并取棒表面为零电势（Vb = 0），即可得空间任意点的电势
解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当r?R时 得E(r)??r2?0E?2?rl??rl??02
??Rl??02当r?R时E?2?rl得E(r)?
?R22?0r
取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当r?R时，V(r)??rR?r2?02dr??4?0(R?r)222
dr当r?R时，V(r)??r2?0rR?R??R2?0lnRr
图是电势V随空间位置r的分布曲线。
题7.23：两个很长的共轴圆柱面（R1 = 3.0?10?2 m，R2 = 0.10 m），带有等量异号的电荷，
两者的电势差为450V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。
题7.23：两圆柱面之间的电场
E??2??0r
根据电势差的定义有
U12??R2R1E?dl??2??0lnR2R1
?8解得?E??2??0U12lnR2R12?2.1?10C.m?1
?2??0r?3.74?101rV
两圆柱面电场强度的大小与r成反比。
题7.24：在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109 V，被迁移的电荷约为 30 °C，如果释放出的能量都用来使0 °C的冰融化为0 °C的水，则可融化多少冰？（冰的融化热L =
3.34?10J?kg）
题7.24：闪电中释放出的能量为冰所吸收，故可融化冰的质量
m??EL?qUL?8.98?1045 ?1
kg
即可融化约90吨冰。
题7.25：在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密度为?。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(R/2, 0)，求电势差UAB。
题7.25分析：电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在该点的电势的一半。据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB。由于带电球面内等电势，球面内A点电势等于球表面的电势，故
UAB?12??UAB12??VB?)(VR
其中VR?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势。
解：假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度? 的一个完整球面，此时在A、B两点的电势分别为
??VAQ4??0RQ4??0r??R?02??VR
??VB??R?0r?2?R3?0则半球面在A、B两点的电势差
UAB?12??VB?)?(VR?R6?0
p?6.17?10?30题7.26：已知水分子的电偶极矩
E?1.0?105C?m。这个水分子在电场强度
V?m?1的电场中所受力矩的最大值是多少？
?p?E题7.26解：在均匀电场中，电偶极子所受的力矩为M
Mm，故力矩的最大值为
?pE?6.17?10?25N?m
m题7.27：在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为0.53?10?10的圆周绕原子核旋转。（1）若
把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功？（2）电子的电离能为多少？ 题7.27解：（1）电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为
EP??14??0e2r
因此，若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功
W??EP?e24??0r?27.2eV
（2）电子在玻尔轨道上运动时，静电力提供电子作圆周运动所需的向心力， 即e2(4??0r)?mv22r。此时，电子的动能为
其总能量
Ek?12mv2?e28??0r
E?Ek?EP??e28??0r
电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量
E0?E?13.6eV
由于电子围绕原子核高速旋转具有动能，使电子脱离原子核的束缚所需的电离能小于在此过程中克服电场力所作的功。