人教A版数学必修一函数的奇偶性

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数学·必修1(人教A版)

1.3.3 函数的奇偶性

?基础达标

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为( A.-1 B.0 C.1 D.无法确定

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) -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

解析:∵f(x)为R上的奇函数,

∴f(-x)=-f(x),∴f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 答案:B

2.(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)12

=x+,则f(-1)=( )

xA.-2B.0C.1D.2

答案:A

3.如果偶函数在区间[a,b]上有最大值,那么该函数在区间[-b,-a]上( )

A.有最大值 B.有最小值

C.没有最大值D.没有最小值

解析:∵偶函数图象关于y轴对称,由偶函数在区间[a,b]上具有最大值,∴在区间[-b,-a]上有最大值.

答案:A

4.已知f(x)=ax3+bx+5,其中a,b为常数,若f(-7)=-7,则f(7)=( )

A.7B.-7C.12D.17

解析:∵f(-7)=-7,

∴a(-7)3+b(-7)+5=-7, ∴73a+7b=12.

∴f(7)=73a+7b+5=12+5=17. 答案:D 5.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是________.

解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴k-1=0,∴k=1,

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∴f(x)=-x+3的递减区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞)

?巩固提高

6.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数

解析:取f(x)=x,则f(x)f(-x)=-x2是偶函数,A错,f(x)|f(-x)|=x2是偶函数,B错;f(x)-f(-x)=2x是奇函数,C错.故选D.

答案:D

7.已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0,+∞),则使f(x)<f(2)成立的自变量取值范围是( )

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)为减区间,示意图如下:

2

由图示可知:f(x)<f(2)成立的自变量的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).

答案:D

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8.设函数f(x)满足:①函数在(-∞,-1)上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值.则f(x)可以是:____________.

答案:f(x)=x2(答案不唯一)

9.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2.求当x∈(-∞,+∞)时,f(x)的表达式.

解析:当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0), 因为x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2, 所以f(-x)=(-x)-(-x)2,

因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x+x2. 综上,x∈(-∞,+∞)时,

?

f(x)=?0?x=0?,

??x-x?x<0?.

2

2x+x?x>0?,?

10.已知函数f(x)=-x3+3x.求证: (1)函数f(x)是奇函数;

证明:显然f(x)的定义域是R. 设任意x∈R,

∵f(-x)=-(-x)3+3(-x)=-(-x3+3x)=-f(x), ∴函数f(x)是奇函数.

信达

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(2)函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数.

证明:在区间(-1,1)上任取x1,x2,且x1<x2. f(x2)-f(x1)

2

=-(x2-x1)(x22+x2x1+x1)+3(x2-x1)

2

=(x2-x1)(3-x22-x2x1-x1).

因为-1<x1<x2<1,所以(x2-x1)>0,

2

(3-x22-x2x1-x1)>0, 所以f(x2)>f(x1).

所以函数f(x)=-x3+3x在区间(-1,1)上是增函数.

1.利用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称. (2)确定f(-x)与f(x)的关系. (3)作出相应结论.

2.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数. 3.若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 4.函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质.

5.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

6.奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反.

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