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数学·必修1(人教A版)
1.3.3 函数的奇偶性
?基础达标
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
信达
) -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 答案：B
2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)12
＝x＋，则f(－1)＝( )
xA．－2B．0C．1D．2
答案：A
3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( )
A．有最大值 B．有最小值
C．没有最大值D．没有最小值
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．
答案：A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( )
A．7B．－7C．12D．17
解析：∵f(－7)＝－7，
∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7， ∴73a＋7b＝12.
∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17. 答案：D 5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴k－1＝0，∴k＝1，
信达
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∴f(x)＝－x＋3的递减区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)
?巩固提高
6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C错．故选D.
答案：D
7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：
2
由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：D
信达
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8．设函数f(x)满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值．则f(x)可以是：____________.
答案：f(x)＝x2(答案不唯一)
9．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2.求当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)的表达式．
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， 因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2， 所以f(－x)＝(－x)－(－x)2，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋x2. 综上，x∈(－∞，＋∞)时，
?
f(x)＝?0?x＝0?，
??x－x?x＜0?.
2
2x＋x?x＞0?，?
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x.求证： (1)函数f(x)是奇函数；
证明：显然f(x)的定义域是R. 设任意x∈R，
∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)， ∴函数f(x)是奇函数．
信达
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(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．
证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2. f(x2)－f(x1)
2
＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x1)＋3(x2－x1)
2
＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x1)．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，
2
(3－x22－x2x1－x1)＞0， 所以f(x2)＞f(x1)．
所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称． (2)确定f(－x)与f(x)的关系． (3)作出相应结论．
2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数． 3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数． 4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．
5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．
信达