§2.5 指数与指数函数
1．分数指数幂
n
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分m1
数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0
nnam的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
＋
m
2．指数函数的图象与性质
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4
(1)(?－4?)4＝－4.
21
(2)(－1)＝(－1)＝－1.
42
－
( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × )
(3)函数y＝ax是R上的增函数．
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)． (5)函数y＝2x
－1
是指数函数．
1－
(6)函数y＝()1x的值域是(0，＋∞)．
4
－
－
－
－2
( √ ) ( )
2．若a＝(2＋3)1，b＝(2－3)1，则(a＋1)2＋(b＋1)
12
A．1 B. C.
42答案 D
的值是
2D. 3
解析 a＝(2＋3)－1＝2－3，b＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2
112＝＋＝. 12－6312＋6333．设函数f(x)＝a
－|x|
(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则
B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2)
( )
A．f(－2)>f(－1) C．f(1)>f(2) 答案 A
1?－|x||x|1
解析 ∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝?∴f(－?2?＝2，22)>f(－1)．
4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0 1 5．已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________． 2 5答案 2解析 令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 1 又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5 2 11＝(t－3)2＋， 22 5 ∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝. 2 题型一 指数幂的运算 例1 化简： ?27?3－ (2)(－)＋(0.002)2－10(5－2)1＋(2－3)0. 8 21 思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算． 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 4 (1)化简16x8y4(x<0，y<0)得 A．2x2y B．2xy ( ) C．4x2y D．－2x2y 8 答案 (1)D (2) 5 题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f(x)＝ax A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0 (2)若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________. 思维启迪 对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)D (2)1 解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 －b 的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )