常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识
定义1.1 对于形如
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 （1.1）
的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数U(x,y)的全微分，即
dU(x,y)= M(x,y)dx?N(x,y)dy，则称（1.1）为全微分方程.
易知，上述全微分方程的通解为 U(x,y)=C, （C为任意常数）.
定理1.1 （全微分方程的判别法）设M(x,y)，N(x,y)在x，y平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为
?M(x,y)?N(x,y)? （1.2） ?y?x证明见参考文献[1].
定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数?(x,y)，使得方程
?(x,y)M(x,y)dx??(x,y)N(x,y)dy?0 （1.3）
是全微分方程，则称?(x,y)为微分方程（1.1）的积分因子.
定理1.2 可微函数?(x,y)为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为
N(x,y)?ln?(x,y)?ln?(x,y)?M(x,y)?N(x,y)?-M(x,y)= （1.4）
?x?y?y?x证明：由定理1.1得，?(x,y)为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为
?(?(x,y)M(x,y))?(?(x,y)N(x,y))?， 展开即得：
?y?x 1
N(x,y)??(x,y)??(x,y)??M(x,y)?N(x,y)??-M(x,y)=???(x,y). ???x?y?x???y上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若?(x,y)?0，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子?(x,y)。
为了求解积分因子?(x,y)，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当?(x,y)具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1 当?(x,y)具有形式?(x)时，方程（1.4）化为
N(x,y)dln?(x)?M(x,y)?N(x,y)?=，
dx?y?x即
于是得到：
dln?(x)1??M(x,y)?N(x,y)???= ???dxN(x,y)??y?x?定理2.1 微分方程（1.1）具有形如?(x)的积分因子的充要条件为
1??M(x,y)?N(x,y)??? ??N(x,y)??y?x??只是x的连续函数, 不含y. 此时易得, ?(x)?e类似地
??N(x,y)??1??M(x,y)?N(x,y)????dx?y?x?.
定理2.2 微分方程（1.1）具有形如?(y)的积分因子的充要条件为
??M(x,y)?N(x,y)?1?? ???M(x,y)??y?x?只是y的连续函数, 不含x. 并且, ?(y)?e???M(x,y)??1??M(x,y)?N(x,y)????dy?y?x?.
例2.1 求[p(x)y?q(x)]dx?dy?0的通解. 解: 因
1??M(x,y)?N(x,y)??p(x)dx. ?(x)?e??p(x)=, 故 ?N(x,y)??x???y?2
方程两边同乘以?(x)?e?p(x)dx得 e?p(x)dx[p(x)y?q(x)]dx?e?p(x)dxdy?0,
?p(x)dx?q(x)e?p(s)dsdx??0, 故通解为ye?p(x)dx?q(x)e?p(s)dsdx=C, ye即d????????p(x)dx??p(s)dsdx?，C?q(x)e即y?e?（C为任意常数）. ?????情况2 如果(1.1)具有形如?(x?y)的积分因子, 令z?x?y, 则?(x?y) =?(z). 由(1.4)得
??M(x,y)?N(x,y)?dln?(z)1??=??, dzN(x,y)?M(x,y)??y?x??于是得到:
定理2.3 微分方程（1.1）具有形如?(x?y)的积分因子的充要条件为
??M(x,y)?N(x,y)?1???? 只是z?x?y的连续函数, 此时积分因N(x,y)?M(x,y)??y?x??子为
??N(x,y)?M(x,y)??1??M(x,y)?N(x,y)????dz?y?x??(z)??(x?y)?Ce, (C为任意非零常数).
例2.2 求 (2x3?3x2y?y2?y3)dx?(2y3?3xy2?x2?x3)dy?0 的积分因子.
解: 因
??M(x,y)?N(x,y)?21???= ???x?yN(x,y)?M(x,y)??y?x??故方程具有形如?(x?y)的积分因子, 取C?1得，?(x?y)?e=
1. 2(x?y)?x?yd(x?y)2
情况3 如果(1.1)具有形如?(xy)的积分因子, 令z?xy, 则?(xy)=?(z). 由(1.4)得
??M(x,y)?N(x,y)?dln?(z)1??=??, dzyN(x,y)?xM(x,y)??y?x??于是得到:
定理2.4 微分方程（1.1）具有形如?(xy)的积分因子的充要条件为
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