在职研究生考试数学测试练习题
微积分
（1）设y(x)是微分方程y???(x?1)y??x2y?ex的满足y(0)?0，y?(0)?1的解，则
x（A）等于0.
x?0limy(x)?x2（）
（B）等于1.
（C）等于2.
（D）不存在.
解limx?0y(x)?xy?(x)?1y??(x)1?lim?lim?y??(0)， 2x?0x?0x2x222将x?0代入方程，得y??(0)?(x?1)y?(0)?xy(0)?1，又y(0)?0，y?(0)?1，故y??(0)?2， 所以limx?0y(x)?x?1，选择B. x2?f(x,y)?f(x,y)?0，则保证不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)成立?0，
?y?x（2）设在全平面上有的条件是（）
（A）x1?x2，y1?y2. （C）x1?x2，y1?y2. 解
（B）x1?x2，y1?y2. （D）x1?x2，y1?y2.
?f(x,y)?0?f(x,y)关于x单调减少， ?x?f(x,y)?0?f(x,y)关于y单调增加， ?y当x1?x2，y1?y2时，f(x1,y1)?f(x2,y1)?f(x2,y2)，选择A.
（3）设f(x)在(??,??)存在二阶导数，且f(x)??f(?x)，当x?0时有f?(x)?0，
f??(x)?0，则当x?0时有（）
（A）f?(x)?0,f??(x)?0. （B）f?(x)?0,f??(x)?0. （C）f?(x)?0,f??(x)?0. （D）f?(x)?0,f??(x)?0. 解【利用数形结合】
f(x)为奇函数，当x?0时，f(x)的图形为递减的凹曲线，当x?0时，f(x)的图形为
递减的凸曲线，选择D.
（4）设函数f(x)连续，且f?(0)?0，则存在??0，使得（）
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（A）在(0,?)内单调增加 （B）在(??,0)内单调减少
（C）对任意的x?(0,?)，有f(x)?f(0) （D）对任意的x?(??,0)，有f(x)?f(0)
f(x)?f(0)?0，
x?0xf(x)?f(0)由极限的的保号性，在此邻域内，所以对任意的x?(??,0)，?U(0,?)，?0，
x解【利用导数的定义和极限的保号性】f?(0)?lim有f(x)?f(0)，选择D.
f(x)?(5) 函数
|x|sin(x?2)x(x?1)(x?2)2在下列哪个区间内有界.
(A) (?1 , 0). [ A ]
【分析】如函数f (x)
在(a , b)内有界.
(B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
?f (x)在(a , b)内连续，且极限x?alimf(x)?与x?blimf(x)存在，则
【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而x??1limf(x)??sin24，
limf(x)???sin318，
x?0?x?0?limf(x)?sin2limf(x)??limf(x)??4，x?1，x?2，
所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限x?ax?b?limf(x)?与
limf(x)存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.
limf(x)?a（6）设f (x)在(?? , +?)内有定义，且x??，
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1??f(),x?0g(x)??x??0,x?0，则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. 断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(B) x = 0必是g(x)的第二类间
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.
[ D ]
【分析】考查极限x?0元
u?1x，
limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换
可将极限x?0limg(x)转化为x??limf(x).
11limg(x)?limf()?limf(u)u?x?0u??xx)，又g(0) = 0，【详解】因为x?0= a(令
所以，
当a = 0时，x?0limg(x)?g(0)，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时，
x?0limg(x)?g(0)，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0
处的连续性
与a的取值有关，故选(D).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.
(7) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
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