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最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座:四点

共圆问题

第四讲四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路.

1“四点共圆”作为证题目的

例1.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q四点共圆.

分析:设PQ,MN交于K点,连接AP,AM. 欲证M,N,P,Q四点共圆,须证 MK KN=PK KQ,

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) =(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM,从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①,命题得证.

例2.A、B、C三点共线,O点在直线外,

O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC, △OCA的外心.求证:O,O1,O2, O3四点共圆.

分析:作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB,O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆,立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆,立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.

由∠OO2O1=∠OO3O1O,O1,O2,O3共圆.

利用对角互补,也可证明O,O1,O2,O3四点共圆,请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等

例3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AB>CD,K,M分别在AD,BC上,∠DAM=∠CBK.

求证:∠DMA=∠CKB.

分析:易知A,B,M,K四点共圆.连接KM, 有∠DAB=∠CMK.∵∠DAB+∠ADC =180°,

∴∠CMK+∠KDC=180°.

故C,D,K,M四点共圆∠CMD=∠DKC. 但已证∠AMB=∠BKA, ∴∠DMA=∠CKB. (2)证线垂直

例4.⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,

BC交于K,N(K与N不同).△ABC 外接圆和△BKN外接圆相交于B和 M.求证:∠BMO=90°.

分析:这道国际数学竞赛题,曾使许多选手望而却步.其实,只要把握已知条件和图形特点,借助“四点共圆”,问题是不难解决的.

连接OC,OK,MC,MK,延长BM到G.易得∠GMC= ∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2 ∠BAC=∠GMC+ ∠BMK=180°-∠CMK,

∴∠COK+∠CMK=180°C,O,K,M四点共圆. 在这个圆中,由 OC=OKOC=OK∠OMC=∠OMK. 但∠GMC=∠BMK, 故∠BMO=90°. (3)判断图形形状

例5.四边形ABCD内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC的内心依次记为IA,IB,IC,ID.

试证:IAIBICID是矩形.

分析:连接AIC,AID,BIC,BID和DIB.易得 ∠AICB=90°+∠ADB=90°+ ∠ACB=∠AIDBA,B,ID,IC四点 共圆.

同理,A,D,IB,IC四点共圆.此时 ∠AICID=180°-∠ABID=180°-∠ABC,

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