数值分析模拟试题05

数值分析模拟试题05

一、（24分）填空题 (1) (2分)改变函数f(x)?x?1?x (x??1)的形式，使计算结果较精确

。

(2) (2分)若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。

2?x12?x2??f?x????xx??12?，则f'?x?? (3) (2分)设

?2x3,0?x?1S?x???32?x?ax?bx?c,1?x?2是3次样条函数，则 (4) (3分)设

a= , b= , c= 。 (5) (3分)若用复化梯形公式计算

至少用 个求积节点。

?10exdx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，

?6?x1?1.6x2?1?(6) (6分)写出求解方程组??0.4x1?x2?2的Gauss-Seidel迭代公式

，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。

?54?A???43??,则A?? ，Cond??A?? 。 (7) (4分)设

(8) (2分)若用Euler法求解初值问题y'??10y,则步长h的取值范围为

二. (64分)

(1) (6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

x??fx?e(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

y?0??1，为保证算法的绝对稳定，

(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分

I??sin?x?dx0x的近似值，要求误差限为

10.5?10?5。

(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

?x1?4x2?2x3?24??3x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?2723 ?1

?13??5????x1????12???x????2??11??2??1???? 的最小二乘解。 (6) (8分)求方程组 ?(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：

?dydx?xy,1?x?1.2??y(1)?2

.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p?1??15，p'?1??20，p''?1??30，p?2??57，p'?2??72

(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

?1???xfxdx?Af1?0???A1f??0?2?

1?101?A???11????的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代(3) (6分)用幂法求矩阵

T??1,0至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。

(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 y'?x??f?x,y?x??,a?x?b,y?a??y0 的形式为 yi?1?yi?h??0fi??1fi?1?,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中fi?f?xi,yi?, xi?a?ih, i=0,1,…,N,

h??b?a?N

(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

?y''?p?x?y'?q?x?y?r?x??0,a?x?b??y'?a??0,y?b??0 所得到的三对角线性方程组。