哈哈哈哈哈哈哈哈哈和学业分层测评(一) 直角坐标系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．已知点Q(1,2)，求Q点关于M(3,4)的对称点． 【解】 设点P的坐标为(x，y)， 由题意知，M是PQ的中点， 因此?
?x＋1＝6，?
??y＋2＝8，
∴?
?x＝5，???y＝6，
∴点P的坐标为(5,6)．
2．设△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC的面积． 【解】 如图，作直线l：y＝－1，过点B、C向l引垂线，垂足分别为B1、C1，则△ABC的面积为
S＝S△AC1C＋S梯形C C1B1B－S△AB1B＝×1×7＋(7＋3)×4－×5×3＝16.
3．已知点P(0,4)，求P点关于直线l：3x－y－1＝0的对称点． 【解】 设P点关于l的对称点Q的坐标为(a，b)，由题意得
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b－43·??a＝－1，?ab＋4??3×2－2－1＝0，
即?
?a＋3b－12＝0，?
??3a－b－6＝0，
??a＝3，解之得?
??b＝3，
∴P点关于直线l的对称点坐标为(3,3)．
4．已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且
AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
【导学号：98990002】
【解】 如图，设A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，∵AB＝6，
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哈哈哈哈哈哈哈哈哈和
∴xA＋yB＝6，即xA＋yB＝36，① 又∵AM∶MB＝1∶2， 1yB2xA∴x＝，y＝，
111＋1＋223??xA＝x，2即???yB＝3y，
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代入①得x＋9y＝36，
4即x＋4y＝16.
得动点M的轨迹方程为x＋4y＝16.
5．设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA＋PC＝PB＋PD. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A为坐标原点，边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C的坐标为(b，d)．又设P(x，y)，
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则PA＋PC＝x＋y＋(x－b)＋(y－d)，
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PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2.
比较两式，可知PA＋PC＝PB＋PD.
6．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，试求爆炸点所在的曲线．
【解】 由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1 360米． 即PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA.
故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支．
以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b＝700－680＝27 600，故爆炸点所在曲线为－＝1(x＜0)． 462 40027 600
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哈哈哈哈哈哈哈哈哈和7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．
【解】 A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，
∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)． 我船直行到点C与不明船只相遇， 设C(x,0)，
∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. ∵两船速度相同， ∴AC＝BC＝80－x.
在Rt△AOC中，OA＋OC＝AC，即40＋x＝(80－x)，解得x＝30. ∴点C的坐标为(30,0)．
[能力提升]
8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为
＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)
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后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观
7测点A(4,0)，B(6,0)．
图4-1-2
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A、B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
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【解】 (1)设曲线方程为y＝ax＋，
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∵ 点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
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