4.1 美国人口增长问题研究 4.1.1 问题重述
认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。 年份 人口/百万 增长率/10年 年份 人口/百万 增长率/10年 年份 人口/百万 增长率/10年
1790 3.9 1870 38.6 0.2435 1950 150.7 1800 5.3 1880 50.2 0.242 1960 179.3 1810 7.2 0.2986 1890 62.9 0.2051 1970 203.2 0.1161 1820 9.6 0.2969 1900 76 0.1914 1980 226.5 0.1004 1830 12.9 0.2907 1910 92 0.1614 1990 248.7 0.1104 1840 17.1 0.3102 1920 105.7 0.1457 2000 281.4 0.1349 1850 23.2 0.3082 1930 122.8 0.1059 2010 308.7 1860 31.4 0.2452 1940 131.7 0.1059 0.2949 0.3113 0.1579 0.1464 4.1.2 符号规定与基本假设
1. 符号规定
1. r 表示人口增长率 2. x?t? 表示人口数量 3. xm 表示人口容量
2. 基本假设
1) 假设人口增长符合生长规律； 2) 不考虑战争等非射幸因素；
3) 不考虑突发事故所引起的人口数量变化；
4.1.3 模型分析与建立
考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t的延续可微函数x?t?。记初始时刻?t?0?的人口为x0。假设单位时间人口增长率为常数r，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为：
易得：
dx?rx,x?0??x0 dt(1.1)
x?t??x0en
(1.2)
若r?0，人口将按指数规律无限增长。
根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。对式(1.1)中的参数
r,x0进行估计主要有以下两种方法。
方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得：
y?rt?a,y?lnx,a?lnx0
(1.3)
由本题所给表格，通过MATLAB软件可计算得出，r?0.2020/10年，。 x0?6.0496方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r的估计；x0直接取原始数据。
数值微分的中点公式如下：假设函数x?t?在分点t0,t1,散值为x0,x1,
,tn(等间距?t)的离
,xn，那么函数在各个分点的导数近似值为
xk?1?xk?1,k?1,2,,n?1 2?t?3x0?4x1?x2x?4xn?1?3xnx??t0??,x??tn??n?2
2?t2?tx??tk??(1.4) (1.5)
根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率rk?x??tk?，为x?tk?0.2052年/10年，令人口数量初值x0?3.9，即可预测算出人口数量。
方法三：将指数增长模型进行改进，原先的模型(1.1)式改写为 易得
dx?r?t?x??r0?rt1?x,x?0??x0 dt(1.6)
?rt?rt/2?
x?t??x0e012(1.7)
根据美国人口增长率数据可得r0?0.3252,r1?0.0114，令人口数量初值取3.90即x0?3.90，拟合结果如图 4.1所示。
Logistic方法一：（非常重要的预测方法，需要重点掌握！！！）
随着人口数量的增长，资源和环境对其增长起到了阻滞作用。即增长率r随着人口数量x的增加而下降，用r?x??a?bx。为了赋予增长函数中系数的实际意义，引入以下两个参数。
1) 内廪增长率r 表示x?0的增长率，即r?0??r，则a?r；
2) 人口容量xm 表示资源和环境所能容纳的最大人口数量，当x?xm即表
示人口不在增长，即r?xm??r?bxm?0，得b???x?增长率函数r?x??r?1??，可得
?xm?r。 xm
?dxx??rx?1??,x?0??x0 dt?xm?(1.8)
?x?式(1.8)中，右端rx体现人口自身增长趋势，而?1??体现了资源和环境对
?xm?人口增长的阻滞作用。人口增长是两者同时作用的结果。
以下是对Logistic模型的参数估计。 将式(1.8)改写为
dx/dtrx?r?,x?0??x0 xxm(1.9)
(1.9)式左端作数值微分之后计算增长率，右端使用线性最小二乘法进行参数估计。可以计算出结果为r?0.2805,xm?352.0548,x0?3.9，由式(1.9)可以计算出