3.3.1 函数的单调性与导数
学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3.能根据函数的单调性求参数．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性 单调递增 单调递减 思考：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0这个说法正确吗？ [提示] 不正确，应该是f′(x)≥0. 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 越大 越小 函数值变化 快 慢 函数的图象 比较“陡峭”(向上或向下) 比较“平缓”(向上或向下) [基础自测] 1．思考辨析
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．
( ) ( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
( )
(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y＝x＋x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) C．(1，＋∞)
D [y′＝3x＋1>0，故选D.]
3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
【导学号：97792146】
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( )
B．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
A．f(x)>0 C．f(x)＝0
B．f(x)<0 D．不能确定
A [由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a，b)内是增函数，且f(a)≥0，故f(x)>0.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
函数的单调性与单调区间 (1)函数f(x)＝3x－2ln x的单调递减区间为__________． 1
(2)设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．
2x[思路探究] (1)求f′(x)?解不等式f′(x)<0 (2)求f′(x)?根据a的取值判断f′(x)的正负号． [解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 2
f′(x)＝6x－＝xx2－xx2－x <0，解得－
33 令f′(x)<0，即又x>0，故0 3 . 3 2 即函数f(x)＝3x－2ln x的单调递减区间为?0，[答案] ?0，??3??. 3? ??3?? 3? (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)． ax2－ax＋1 f′(x)＝1＋2－＝. xxx2 1 令g(x)＝x－ax＋1， 其判别式Δ＝a－4. ①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0. 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为 2 2 x1＝ a－a2－4 2 ，x2＝ a＋a2－4 2 . 当0 ?a－a2－4??a＋a2－4? 故f(x)分别在?0，?，?，＋∞?上单调递增，在 22?????a－a2－4a＋a2－4? ?，?上单调递减． 22?? [规律方法] 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数． [跟踪训练] 1．(1)函数y＝x－x－x的单调递增区间为( ) 1??A.?－∞，－?和(1，＋∞) 3?? 3 2 ?1?B.?－，1? ?3? 1??C.?－∞，－?∪(1，＋∞) 3??1??D.?－1，? 3?? 12 A [y′＝3x－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间为 3 ?－∞，－1?和(1，＋∞)，故选A. ] ?3??? 12 (2)讨论函数f(x)＝x＋aln x(a∈R，a≠0)的单调性． 2[解] 函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋. ①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞－a；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜－a，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是(－a，＋∞)，单调递减区间是(0，－a)． 综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(－a，＋∞)，单调递减区间为(0，－a)． axaxaxax 导数与函数图象的关系 (1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图3-3-1所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 图3-3-1 (2)已知函数y＝f(x)的图象如图3-3-2所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 ( ) 【导学号：97792147】 图3-3-2 [解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示： x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ ↗ (0,2) － ↘ (2，＋∞) ＋ ↗ 由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D. (2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表： x (－1，b) (b，a) (a,1) f(x) f′(x) ↘ － ↗ ＋ ↘ － 由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C. [答案] (1)D (2)C [规律方法] (1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． (2)导数与函数图象的关系 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大绝对值越来越小 提醒：函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． [跟踪训练] 2．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3-3-3所示，则导函数y＝f′(x)可能为( ) 图3-3-3