2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案

3.3.1 函数的单调性与导数

学习目标:1.理解函数的单调性与导数的关系.(重点)2.能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)

f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性 单调递增 单调递减 思考:若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f′(x)>0这个说法正确吗? [提示] 不正确,应该是f′(x)≥0. 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上 导数的绝对值 越大 越小 函数值变化 快 慢 函数的图象 比较“陡峭”(向上或向下) 比较“平缓”(向上或向下) [基础自测] 1.思考辨析

(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增.

( ) ( )

(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”. (3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.

( )

(4)在区间(a,b)内,f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件.

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.函数y=x+x的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) C.(1,+∞)

D [y′=3x+1>0,故选D.]

3.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )

【导学号:97792146】

23

( )

B.(-∞,1) D.(-∞,+∞)

A.f(x)>0 C.f(x)=0

B.f(x)<0 D.不能确定

A [由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)≥0,故f(x)>0.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

函数的单调性与单调区间 (1)函数f(x)=3x-2ln x的单调递减区间为__________. 1

(2)设函数f(x)=x--aln x(a∈R),讨论f(x)的单调性.

2x[思路探究] (1)求f′(x)?解不等式f′(x)<0 (2)求f′(x)?根据a的取值判断f′(x)的正负号. [解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). 2

f′(x)=6x-=xx2-xx2-x <0,解得-

33

令f′(x)<0,即又x>0,故0

3

. 3

2

即函数f(x)=3x-2ln x的单调递减区间为?0,[答案] ?0,??3??. 3?

??3?? 3?

(2)f(x)的定义域为(0,+∞).

ax2-ax+1

f′(x)=1+2-=. xxx2

1

令g(x)=x-ax+1, 其判别式Δ=a-4.

①当|a|≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0. 故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②当a<-2时,Δ>0,g(x)=0的两根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为

2

2

x1=

a-a2-4

2

,x2=

a+a2-4

2

.

当00;当x1x2时,f′(x)>0.

?a-a2-4??a+a2-4?

故f(x)分别在?0,?,?,+∞?上单调递增,在

22?????a-a2-4a+a2-4?

?,?上单调递减.

22??

[规律方法] 求函数y=f(x)的单调区间的步骤: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y′=f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,函数在定义域内的解集上为增函数; (4)解不等式f′(x)<0,函数在定义域内的解集上为减函数. [跟踪训练] 1.(1)函数y=x-x-x的单调递增区间为( ) 1??A.?-∞,-?和(1,+∞)

3??

3

2

?1?B.?-,1?

?3?

1??C.?-∞,-?∪(1,+∞) 3??1??D.?-1,? 3??

12

A [y′=3x-2x-1,令y′>0,得x<-或x>1,所以函数的单调递增区间为

3

?-∞,-1?和(1,+∞),故选A. ] ?3???

12

(2)讨论函数f(x)=x+aln x(a∈R,a≠0)的单调性.

2[解] 函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+. ①当a>0时,f′(x)=x+>0恒成立,这时函数只有单调递增区间为(0,+∞); ②当a<0时,由f′(x)=x+>0,得x>-a;由f′(x)=x+<0,得0<x<-a,所以当a<0时,函数的单调递增区间是(-a,+∞),单调递减区间是(0,-a).

综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a<0时,单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a).

axaxaxax

导数与函数图象的关系 (1)f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图3-3-1所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )

图3-3-1

(2)已知函数y=f(x)的图象如图3-3-2所示,则函数y=f′(x)的图象可能是图中的 ( )

【导学号:97792147】

图3-3-2

[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示:

x f′(x) f(x) (-∞,0) + ↗ (0,2) - ↘ (2,+∞) + ↗ 由表可知f(x)在(-∞,0)内递增,在(0,2)内递减,在(2,+∞)内递增,满足条件的只有D,故选D.

(2)由函数y=f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y=f′(x)的正、负情况如下表:

x (-1,b) (b,a) (a,1)

f(x) f′(x) ↘ - ↗ + ↘ - 由表可知函数y=f′(x)的图象,当x∈(-1,b)时,函数图象在x轴下方;当x∈(b,a)时,函数图象在x轴上方;当x∈(a,1)时,函数图象在x轴下方.故选C.

[答案] (1)D (2)C

[规律方法] (1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

(2)导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大绝对值越来越小 提醒:函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是f′(x)的值越大. [跟踪训练]

2.(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图3-3-3所示,则导函数y=f′(x)可能为( )

图3-3-3

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