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将双线性变换应用于模拟滤波器，有
由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用
设计与用设计得到的结果一致。
例7-3用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz<即采样周期为T=250μs），其3dB截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为
解首先，确定数字域截止频率ωc=2πfcT=0.5π。 第二步，根据频率的非线性关系式<7-17），确定预畸变的模拟滤波器的截止频率
第三步，将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s>，得
最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数
应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s>并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1
kHz的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。 图7-10给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在Ωc=∞处的三阶传输零点通过映射形成的。
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图 7-10用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响
7.2 IIR滤波器的频率变换法
图 7-11 两种等效的设计方法 (a> 先模拟频率变换，再数字化。 (b> 将(a>的两步合成一步设计
对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表7-2列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换，取Ωc=1, 可使设计过程简化。 表7-2 截止频率为Ωc的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式
第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现，即把模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系，一步完成各种类型数字滤波器的设计，因而简捷便利，得到普遍采用。此外，对于高通、带阻滤波器，由于脉冲响应不变法不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，脉冲响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，故对于脉冲响应不变法来说，采用第一种方案有时更方便一些。我们在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。
7.2.1模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器
首先，把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为“样本”的模拟滤波器的性
个人资料整理 仅限学习使用 能要求，根据此性能要求设计模拟滤波器，这可以用查表的办法，也可以用解读的方法。然后，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此“样本”模拟低通滤波器数字化为所需的数字滤波器H(z>。例7-3已经说明了用双线性变换法设计低通滤波器的过程，这里再用脉冲响应不变法来讨论一下例7-3的低通滤波器设计问题。
例 7-4用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz<即采样周期为T=250μs），其3 dB截止频率为fc=1 kHz。 解查表可得归一化三阶模拟巴特沃思低通滤波器的传递函数
然后,
以s/Ωc代替其归一化频率，则可得三阶模拟巴特沃思低通滤波器的传递函数为
式中，Ωc=2πfc。上式也可由巴特沃思滤波器的幅度平方函数求得。
为了进行脉冲响应不变法变换，将上式进行因式分解并表示成如下的部分分式形式：
将此部分分式系数代入(5-40>式就得到
式中，ωc=ΩcT=2πfcT=0.5π是数字滤波器数字频域的截止频率。将上式两项共轭复根合并，得
从这个结果我们看到，H(z>只与数字频域参数ωc有关，也即只与临界频率fc
与采样频率fs的相对值有关，而与它们的绝对大小无关。例如fs=4kHz，fc=1 kHz与fs=40
kHz，fc=10kHz的数字滤波器将具有同一个系统函数。这个结论适合于所有的数字滤波器设计 将ωc=ΩcT=2πfcT=0.5π代入上式，得
这个形式正好适合用一个一阶节及一个二阶节并联起来实现。脉冲响应不变法由于需要通过部分分式来实现变换，因而对采用并联型的运算结构来说是比较方便的。 图7-12给出了脉冲响应不变法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响幅度特性，同时给出例7-5双线性变换法设计的结果。由图可看出，脉冲响应不变法存在微小的混淆现象，因而选择性将受到一定损失，并且没有传输零点。 个人资料整理 仅限学习使用