专题强化训练
x22
1．(2018·高考浙江卷)双曲线－y＝1的焦点坐标是( )
3A．(－2，0)，(2，0) C．(0，－2)，(0，2)
B．(－2，0)，(2，0) D．(0，－2)，(0，2)
解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.
2．已知圆
M：(x－1)2＋y2＝
3x22
，椭圆C：＋y＝1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与83
圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；
当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
2
x1x222
由＋y1＝1，＋y22＝1， 33
y1－y21x1＋x2两式相减，整理得：＝－·，
3y1＋y2x1－x2x0y0
则kAB＝－，kMP＝，kMP·kAB＝－1，
3y0x0－1x0y03
kMP·kAB＝－·＝－1，解得x0＝，
3y0x0－123
由<3，可得P在椭圆内部， 2
则这样的P点有2个，即直线AB斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l有4条．故选C.
b
3．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝(＋c)2有四个交点，其中c为椭圆的半焦
2距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．(C．(
53，) 5523，) 55
B．(0，D．(2
) 5
35，) 55
?
解析：选A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则?b
b
1??（a－c）2>4（a2－c2），53
??? 55 ?22 ?a－c<2c 4．(2019·学军中学质检)双曲线 M：x2－ b a>＋c，2 y2 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，b2 以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( ) A.C. 3＋1 23＋3 2 B. 3＋2 2 33D. 2 解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋3.易知△POF2为等边三3＋1c角形，则xP＝＝. 22 5x2y2 5．已知离心率e＝的双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点， 2ab以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为( ) A．22 B．3 C．4 D．5 解析：选C.因为e＝ b?25b1|AF|b1?1＋?a?＝，所以＝，＝＝，设|AF|＝m，|OA|＝2m， 2a2|OA|a2 c5 m2＋（2m）2＝25，又＝， a2 1 由面积关系得·m·2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝ 2所以a＝4，故选C. x2y2 6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F ab作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C．3 D．2 解析：选D.依题意，作图如图所示： 因为OA⊥FA，∠AMO＝60°，OM＝OA， 所以△AMO为等边三角形， 所以OA＝OM＝a， 在直角三角形OAF中，OF＝c， cOF1 所以该双曲线的离心率e＝＝＝＝2， aOAsin 30°故选D. x2y2 7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C：2－2＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为 abπ→→ 圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝且OQ＝5OP，则双曲线C 3的离心率为( ) A. 217 B．2 C. D．3 32 解析：选A.由图知△APQ是等边三角形，设PQ中点是H，圆的半径为r，则AH⊥PQ，AH＝ 3→→ r，PQ＝r，因为OQ＝5OP，所以OP2 11113AH23＝r，PH＝r，即OH＝r＋r＝r，所以tan ∠HOA＝＝，即42424OH3 22 b23b2c－a4c21＝，2＝2＝，从而得e＝＝，故选A. a3aa3a3 8.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( ) |BF|－1 A. |AF|－1|BF|2－1B. |AF|2－1|BF|＋1C. |AF|＋1|BF|2＋1D. |AF|2＋1 解析：选A.由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，|BC| B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线 |AC|