数学建模之雨中行走问题模型
摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。就淋雨量
与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少； 若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
关键词：淋雨量， 数学模型， 降雨的方向。
正文
1.问题的提出
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论 （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量； （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为?，问跑步速度v为多大时可使淋雨量最少。
（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）
2.问题的分析
总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积、 单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t） ①
时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） ②
由①② 得： 淋雨量（V）=ω×S×d/v
3.合理假设
3.1模型的假设
（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；
（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；
（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为v?(vx,vy,vz),人行走的距离为d=100米。
在上述假设下，再有数学分析中曲面积分的通量概念，显然，单位时间内的淋雨量正比于|u?vx|,|0?vy|,|0?vz|??1,b,c??|u?vx|?|vy|?b?|vz|?c，从而总淋雨量正比于R?u????d?|u?vx|?a?.........................(3.1) u其中a?|vy|?b?|vz|?c?0，于是该问题抽象成如下数学问题： 在d,vx,a已知条件下，求R?u?的最小值。 3.2变量限定
um:跑步的最大速度
v:雨的速度
2
w:单位时间内的降雨量
Q:总的淋雨量
u:跑步速度
?:雨线方向与人体夹角
s:人可以被雨淋到的全身面积
t?
d
:雨中行走的最短时间 um
4.模型的构建与求解
由于这个模型的特殊性，用图解法求解更方便些，分以下几种情况进行讨论： 4.1不考虑雨的方向
这是最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，降雨淋遍全身，那么淋雨的面积
s?2?1.5*0.5?1.5*0.2??0.5*0.2?2.2m2
淋雨的时间t?d100??20s um5而降雨量w?2cm/h?1?10?4m/s 181?10?4?2.44?10?4m3。 18所以总的淋雨量Q?stw?2.2?20?4.2考虑雨的方向；分雨从迎面和背面吹来两种情况，但雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为? 。如图1和图2。
3
图1 雨从迎面吹来 图2 雨从背面吹来
由此建立总淋雨量与速度u 之间的关系表达式。
vx=vsin?,vz?vcos?。
4.2.1当vx>0时（即雨从背面吹来的情况），
d?vx?a??dvx?u??a???d?u?vx?????uu.................(3.2) R?u?=??du?v?a?d?a?vx??du?v?x????x??u?u
再将vx与a进行比较： 1）当vx>a时，R?u?u的图形如图
3所示，由图可知， u?vx时，R?u?的最小值为
Rmin?
da vx 图3 当vx>a时，R?u?
2）当vx 4 u的图形 u的图形如图4所示，由图可知，当u尽可能大时，R?u?才会可 图4 vx 4.2.2当vx<0时（即雨从迎面吹来的情况），这是有 u的图形 d?|vx|?a?d?d...........................?5.3? R?u?=?u?|vx|?a??uu此时无论vx为何值，R?u?都无最小值，即只有当u尽可能大时，R?u?才会尽可能小， R?u? u的图形如图5所示。 4.2.3当vx=a及vx>0时，分别为式（3.1）和式（3.2）的特例。 所以综上所述，当vx>a>0时，即雨从背面吹来时，只要u?vx就可使前后不淋雨，从而总淋雨量最少，而其他情况都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能少，显然，这也符合人们的生活常识， 5.模型的结果分析 综合上面的分析，我们得到的结论是： 1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。 5