数学思想专练
(在练数学思想的同时，自检一轮复习成果，为二轮复习查找薄弱环节．)
1．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) 8
A. 3 92
C. 3 9
B．43 8
D．43或 3
3
x2y21
3．(2013·南昌模拟)双曲线2－2＝－1(a>0，b>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，
ba823双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于( )
3
A．2 32C. 2
23B. 3D.3
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l
5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞)
B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞)
6．(2013·南昌模拟)点P是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该
PN的取值范围是( ) 棱柱内切球的一条直径，则PM·
A．[0,2] C．[0,4]
B．[0,3] D．[－2,2]
7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
2x＋3y－6≤0，??
8．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0，
??y≥0示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
所表
9．(2013·郑州质检)过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
10．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，求x的取值范围．
11．(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2
＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
12．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数，e为自然对数的底数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝
答 案
数学思想专练
1．选B ∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，
∴B?A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.
2．选D 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
3．选B 双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知点?a＋b＝4，??
双曲线上，∴?1得a2＝3， 4
??3b2－a2＝－1，
c23
故e＝＝，选B.
a3
4．选D 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
2
2
ln x1
＋是否有实数解，并说明理由． x2
3?
在
?3，2?
1?x
5.选D 法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a
线y＝x－a与y＝??2?的图像．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1，选D项．
1?x
?1?x(x>0)，易知当x增大时，法二：不等式2x(x－a)<1可变形为a>x－?.记g(x)＝x－?2??2?1?x
y＝x与y＝－?故g(x)为增函数，又g(0)＝－1，所以g(x)∈(－1，＋∞)．由?2?的函数值都增大，题意可知a>－1.
PN＝(PO＋OM)·6．选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则PM·(PO＋ON)＝PO2＋PO·(OM＋ON)＋OM·ON＝|PO|2－1，且1≤|OP|≤5，∴
PN∈[0,4]． PM·
7．解析：∵A∩B＝{3}，故a＋2＝3或a2＋4＝3. 若a＋2＝3，则a＝1，检验知，满足题意． 若a2＋4＝3，则a2＝－1，不合题意，故a＝1. 答案：1
8．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝2.
答案：2 xx19．解析：设点A(x1，y1)， B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝ppx1x2x1x211(x－x1)，即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x21－p2pp2p
2224x1－4p2＝0；同理有x22－4x2－4p＝0，因此x1，x2是方程x－4x－4p＝0的两根，则x1＋22
x21＋x2?x1＋x2?－2x1x2
x2＝4，x1x2＝－4p.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即＝2p2p
2
|－2|2
16＋8p2
＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.
2p
答案：1或2
10．解：设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， 则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，
??f?－2?>0，
f(t)>0恒成立，则有?
?f?2?>0，?