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“任意性问题”与“存在性问题”
含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键．
技法一 “?x，使得f(x)>g(x)”与“?x，使得f(x)>g(x)”的辨析
(1)?x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)min＝[f(x)－g(x)]min>0. 如图①.
(2)?x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)max＝[f(x)－g(x)]max>0. 如图②.
[典例] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝af′(x)，其中f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若对于任意x≥0，总有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围； (2)若存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围． [方法演示]
x＋1＋aa1a解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)．h′(x)＝＋. 2＝1＋x1＋x?1＋x??1＋x?2当a≥－1时，h′(x)≥0，h(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(0)＝－a，则－a≥0，a≤0，∴a∈[－1,0]．
当a<－1时，对于x∈(0，－a－1)有h′(x)<0，则h(x)在(0，－a－1)上单调递减，所以h(－a－1)
综上可知，实数a的取值范围为[－1,0]．
(2)由(1)可知，当a≥－1时，存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，
当a<－1时，令x0＝ea－1，则x0>0，∴h(x0)＝－a(1＋ea)>0，∴必存在x≥0，使得f(x)≥g(x)．
－
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，＋∞)．
[解题师说]
(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x0≥0时，总有f(x0)≥g(x0)，即f(x0)－g(x0)≥0(注意不是f(x)min≥g(x)max)，可以转化为当x≥0时，h(x)＝f(x)－g(x)≥0恒成立问题．
(2)存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，即至少有一个x0≥0，满足f(x0)－g(x0)不是负数，可以转化为当
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x≥0时，h(x)＝f(x)－g(x)的函数值至少有一个是非负数．
[应用体验]
1．设函数f(x)＝x3－x2－3.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)－m在区间[－1,2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
1?a
(3)设函数g(x)＝＋xln x，如果对任意的x1，x2∈??2，2?，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取x值范围．
22
解：(1)f′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)．由f′(x)>0，得x<0或x>；由f′(x)<0，得0 3322 ，＋∞?，单调递减区间是?0，?. 的单调递增区间是(－∞，0)，??3??3?(2)令h(x)＝f(x)－m，则h(x)＝x3－x2－3－m，h′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)， 2?285 由(1)知函数h(x)在x＝0处取得极大值h(0)＝－3－m，在x＝处取得极小值h?＝－－m. ?3?327因为函数y＝f(x)－m在区间[－1,2]上有三个零点， ??h?0?＝－3－m>0，所以??2?8585 h?3?＝－－m<0，解得－ 2727 ??h?2?＝1－m≥0， 1? 在区间??2，2?上的最大值为f(2)＝1. h?－1?＝－5－m≤0， 85 －，－3?. 所以实数m的取值范围是??27? 12??2，2?上单调递增，而f?1?＝－25，f(2)＝1，故f(x)，上单调递减，(3)由(1)知，函数f(x)在?在?23??3??2?8 1?1??，2，因为“对任意的x1，x2∈?都有f(x)≤g(x)成立”等价于“对任意x∈g(x)≥f(x)max12 ?2??2，2?，1?a ，2时，g(x)＝＋xln x≥1恒成立，即a≥x－x2ln x恒成立． 恒成立”．即当x∈??2?x 记u(x)＝x－x2ln x，则有a≥u(x)max. u′(x)＝1－x－2xln x，可知u′(1)＝0. 1?1 ，1时，1－x>0, 2xln x<0，则u′(x)>0，u(x)在?，1?上单调递增； 当x∈??2??2?当x∈(1,2)时，1－x<0,2xln x>0，则u′(x)<0，u(x)在(1,2)上单调递减． 1? 故u(x)在区间??2，1?上的最大值为u(1)＝1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞)． 技法二 “若?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)”与“?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)” 聪明在于勤奋，天才在于积累 2 北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育 的辨析 (1)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠?，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值． (2)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B，如图④.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的值域都在函数y＝g(x)的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y轴上的投影． 21 [典例] 已知函数f(x)＝x2－ax3，a>0，x∈R，g(x)＝2. 3x?1－x? 1 －∞，－?，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围； (1)若?x1∈(－∞，－1]，?x2∈?2??3 (2)当a＝时，证明：对任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)． 2[方法演示] 21 解：(1)∵f(x)＝x2－ax3，∴f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 3a1 ∵a>0，∴>0，∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1]上单调递减，故f(x)在(－ a2a 1＋，＋∞?. ∞，－1]上的值域为?3?? 3x2－2x3x－211 ∵g(x)＝2，∴g′(x)＝232＝32. 当x<－时，g′(x)>0，g(x)单调递增，2x?1－x??x－x?x?1－x?1818－?＝，故g(x)在?－∞，－?上的值域为?－∞，?. g(x) 12a85 －∞，－?，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，解得0 (2)证明：当a＝时，f(x)＝x2－x3，所以f′(x)＝2x－3x2＝3x??3－x?. 当x>1时，f′(x)<0，所以2f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－4. 所以f(x)在(2，＋∞)上的值域为(－∞，－4)． 111则g(x)＝2＝在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)＝2在(1，＋∞)上的值域为(－∞， x?1－x?f?x?x?1－x? 聪明在于勤奋，天才在于积累 3