第二节 平行线分线段成比例定理
课堂导学
三点剖析
一、平行线分线段成比例定理及推论
【例1】如图1-2-2,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( )
图1-2-2
A.
ADAECEEADEADEFCF= B.= C.= D.= ABACCFFBBCBDABCBADAEDEAD=,=. ABACBCABCEAEEFCF=,=. CFFBABCB解析：∵DE∥BC, ∴
∴选项C是错误的,A是正确的. 又∵EF∥AE,∴
∴选项B、D是正确的. 答案:C
二、巧妙借助辅助线――平行线解决比例问题 ? 【例2】如图1-2-4,已知△ABC中,D为AC上一点,E为CB延长线上一点,EB=AD,ED交AB于F.
图1-2-4
求证:EF?BC=AC?FD. 证明：过D作DG∥AB交CE于G,则∵EB=AD,∴EFEBACAD?=,.
FDBGBCBGEFAC=, FDBC即EF?BC=AC?FD. 温馨提示
由等积式转化为比例式是一种基本方法,作平行线找中间比是本章解决问题的主要思想方法.
三、探索线段的关系
【例3】如图1-2-6,梯形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,EF∥AD,AD、BC之间的关系,并证明.
AEm=.试探究EF、EBn
图1-2-6
思路分析：首先从特例出发,如果
AEEB=12,取EB中点G,过G作GH∥BC,如图1-2-7.
图1-2-7
则有H为FC的中点,
EF为梯形AGHD的中位线, GH为梯形EBCF的中位线.∴EF=12(AD+GH),GH=12(EF+BC). 消去GH得3EF=BC+2AD.
同理,如果
AEEB=23,得5EF=2BC+3AD. 解:如果AEEB?mn,可以猜想(m+n)EF=mBC+nAD. 下面给出证明:
连结BD,交EF于G.
∵EG∥AD,∴EGAD?BEAB?nm?n.∴EG=nm?n
AD. 又∵AD∥EF∥BC,∴DFAEFC?EB?mn. ∵GF∥BC,∴GFDFmBC?DC?m?n.∴GF=mm?nBC. ∴EF=GF+EG=mnm?nBC+m?nAD. ∴(m+n)EF=mBC+nAD. 各个击破 类题演练1 如图1-2-3,已知l1∥l2∥l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16.
图1-2-3
求DM、EK、FK的长. 解析：∵l1∥l2∥l3,
2
AMCM?. BMDMCM?BM4.5?5?∴DM==7.5.
AM3CMEK?又, CDEFCM?EF4.5?16?∴EK==6.
CD4.5?7.5∴
∴FK=16-6=10.
类题演练2
如图1-2-5,在△ABC中,AB＞AC,D在AB上,E在AC上且AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.
求证:BP∶CP=BD∶CE.
图1-2-5
证明:过C作CF∥AB,交DP于F,则BP∶CP=BD∶CF, ∠EFC=∠ADE. ∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED. ∴∠AED=∠CFE. ∵∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE. ∴CE=CF.
∴BP∶CP=BD∶CE. 类题演练3
如图1-2-8,在△ABC中,DE∥BC,BE、CD交于O.AO交DE于F,AO的延长线交BC于G. 求证:(1)
BGDF?;(2)DF=FE. GCFE
图1-2-8
证明:(1)∵DE∥BC,
DFAFFE??. BGAGGCBGDF?∴. GCFE∴
(2)∵DE∥BC, ∴
DFAD=, BGAB3