第一讲 数与式的运算
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．
一、乘法公式
【公式1】(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c
22222222?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca
?等式成立
2【例1】计算：(x?2x?) 解：原式=[x?(?2x)?]
2132132111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)333
8221?x4?22x3?x2?x?339
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)
证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)
解：原式=[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b 我们得到：
【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
【例3】计算：
22332233332222322223332233 1
（1）(4?m)(16?4m?m)
422（2）(m?2151111n)(m2?mn?n2) 2251042222（3）(a?2)(a?2)(a?4a?16) （4）(x?2xy?y)(x?xy?y) 解：（1）原式=4?m?64?m
（2）原式=(m)?(n)?2423331531231313m?n 125822336（3）原式=(a?4)(a?4a?4)?(a)?4?a?64 （4）原式=(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]
2222222?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6
说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、
10的立方数，是非常有好处的．
题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知a?b?c?0，求
1的值． 3x12解：?x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3
x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18
xxxx说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本
【例4】已知x?3x?1?0，求x?23111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b
?原式=a?
b?ca?ca?b ?b??c?bcacab
a(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2????? ①
bcacababc
?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc
?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
333222 2
二、根式
式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下：
2(1) (a)?a(a?0) (2) (4) a2?|a| bb?(a?0,b?0) aa(3) ab?a?b(a?0,b?0) 【例6】化简下列各式： (1)
(3?2)2?(3?1)2 (2)
(1?x)2?(2?x)2 (x?1)
解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1
?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|??
?(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) 说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
(1)
32?3 (2)
11? ab?(3) 2x?x3?8x 2?6?33 解：(1) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)3(2?3)22?3
a?ba2b?ab2?(2) 原式= abab(3) 原式=2
2x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数
3或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如
2?3axxx)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，22b2要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如
32?3化为
3
3(2?3)(2?3)(2?3)，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．
【例8】计算：
(1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2
(2)
aa?ab?aa?ab
解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1
(2) 原式=aa(a?b)?aa(a?b)??1a?b?1a?b
?(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)2a a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．
解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1
原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
三、分式
AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两BB种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
当分式【例10】化简
x 1?xx?1x?xx(x?1)x?1xxxx ???2??21?x(1?x)?xxxx?x?xxx?2x?x?x?1(x?1)(x?1)x?1x?1xx(x?1)xxxx?1???2?解法一：原式=
(1?x)?xx(1?x)xxx?x?xx?x?x?21x?1x?1(x?)?xx解法一：原式=
4
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质
AA?m进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． ?BB?mx2?3x?96xx?1【例11】化简 ??226?2xx?279x?xx2?3x?96xx?116x?1?????解：原式=
(x?3)(x2?3x?9)x(9?x2)2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3)
2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x???
2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再
进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
练 习 A 组
1．二次根式a2??a成立的条件是( A．a?0 B．a?0
)
C．a?0 ) C．－９
2
D．a是任意实数
2．若x?3，则9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算：
2B．３
2
2
D．９
(1) (x?3y?4z)
2
(2) (2a?1?b)?(a?b)(a?2b) (4) (a?4b)(a?4b?ab)
(3) (a?b)(a?ab?b)?(a?b)
14224．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：
(1) (3)
?8a3 4abab?ba
(2) a??(4)
1 a12?13?2?23?1 5．化简：
B 组
1．若
(1)
mm19m?10m?2m2 325m (2)
2x?2yx?y? (x?y?0) 2x2xy113x?xy?3y??2，则的值为( )： xyx?xy?y 5