第7章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？ P213，若f(x)?C[a,b] 且f(a)f(b)?0，根据连续函数性质可知f(x)?0在[a,b]内至少有一个实根，这时称[a,b]为f(x)?0的有根区间。 2.什么是二分法？用二分法求f(x)?0 的根，f要满足什么条件？ P213 一般地，对于函数f(x)?0如果存在实数c,当x=c时，若f(c)?0,那么把x=c叫做函数f(x)?0的零点。解方程即要求f(x)?0的所有零点。 假定f(x)?0在区间（x，y）上连续， 先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)f(b)?0，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f((a?b)/2),现在假设f(a)?0,f(b)?0,a?b ① 果f((a?b)/2)?0，该点就是零点，如果f((a?b)/2)?0,则在区间[(a?b)/2),b]内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。 ② 如果f((a?b)/2)?0，则在区间[a,(a?b)/2)]内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。 ③ 这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 ④ 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。 3.什么是函数?(x)?0 的不动点？如何确定?(x)使它的不动点等价于f(x)的零点 P215. 将方程f(x)?0改写成等价的形式x??(x)，若要求x*满足f(x*)?0，则x*??(x*)；反之亦然，称x*为函数?(x)的一个不动点。 4.什么是不动点迭代法？?(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于?(x)的不动点 P215 求f(x)?0的零点就等价于求?(x)的不动点，将它代入x??(x)选择一个初始近似值x0，的右端，可求得 x1??(x0)，如此反复迭代有 xk?1??(xk),k?0,1,2,...， ?(x)称为迭代函数，如果对任何x0?[a,b]，由xk?1??(xk),k?0,1,2,...得到的序列 ?xk?有极限 limxk?x* ，则称迭代方程收敛，且x*??(x*)为?(x)的不动点，故称k??xk?1??(xk),k?0,1,2,...为不动点迭代法。 5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定xk?1??(xk)(k?0,1,2,...) 的收敛阶 P219 设迭代过程xk?1??(xk)收敛于x??(x)的根x*，如果当k?? 时，迭代误差ek?xk?x* 满足渐近关系式 ek?1?C,C?const?0 ekp则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6.什么是求解f(x)?0的牛顿法？它是否总是收敛的？若f(x*)?0，x*是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法： xk?1?xk?f(xk)f?(xk) 时收敛。 当 |f?(xk)|?17.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法小于牛顿法2 计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量） 8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 设已知方程f(x)?0的三个近似根，xk,xk?1,xk?2 ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点xk?1作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。 抛物线法的收敛阶大于弦截法，小于牛顿法2 可用于所想是的实根和复根的求解。 9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。 10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当） 11.判断下列命题是否正确： （1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确） （2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确） （3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误） （4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确） （5）求多项式p(x) 的零点问题一定是病态的问题（错误） （7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误） （8）牛顿法有可能不收敛（正确） （9）不动点迭代法xk?1??(xk)，其中x*??(x*)，若|??(x*)|?1 则对任意处置x0迭代都收敛。（对） （10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程x2?x?1?0的正根，要求误差?0.05。 [解]令f(x)?x2?x?1，则f(0)??1，f(2)?1，所以有根区间为?0,2?； 又因为f(1)??1，所以有根区间为?1,2?； f(1.5)?1.52?1.5?1??0.25，所以有根区间为?1.5,2?； 5?0，所以有根区间为?1.5,1.75?； 161f(1.625)?1.6252?1.625?1??0，所以有根区间为?1.5,1.625?； 64f(1.75)?1.752?1.75?1?f(199931?9?)?(1)2?1?1???0，所以有根区间为?1,1.625?； 161616256?16?19519(1?1)?1?1.59375， 216832191这时它与精确解的距离?(1.625?1)??0.05。 21632取x*?2. 为求方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式： 21）x?1?1/x2，迭代公式xk?1?1?1/xk； 22）x3?1?x2，迭代公式xk?1?31?xk； 3）x2?1，迭代公式xk?1?1/xk?1； x?1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 [解]1）设?(x)?1?21612???(1.5)????1，所以，则，从而?(x)??323271.5xx迭代方法局部收敛。 ?222）设?(x)?1?x，则??(x)?x(1?x)3，从而 3232