第七章刚体力学
在前面几章的学习中，我们先后讨论了质点、质点组在外力和内力作用下的运动规律。在本章的学习中，我们将讨论质点组内各质点间无相对运动的一种特殊情况——刚体在外力作用下的运动规律。
刚体：在任何情况下形状大小都不发生变化的质点及合或各质点间没有相对运动的特殊质点系。dri,j?0 （i,j=1,2,??）
刚体这一概念虽然是一种理想化抽象模型，但却十分有用，因此又必要将刚体力学作一番深入地探讨。同质点力学的情况相同，我们也是从两方面研究刚体力学。
刚体运动学：研究刚体的运动情况以及如何对刚体的运动进行描述
刚体力学
刚体动力学：研究引起刚体运动状态发生变化的原因，进而阐明各种运
动是如何由所受外力产生的。
今天学习的内容：§7﹒1刚体运动的描述
所做的工作：讨论刚体定轴转动和平面运动的运动学特征。
?§7﹒1刚体运动的描述
与质点力学的情况相同，所谓对刚体运动进行描述，就是研究刚体内任一点随时间的变化情况——研究刚体内任一点的速度、加速度随时间的变化规律。
1、平动
2、定轴转动 刚体运动可分为五种类3、平面平行运动 4 、定点转动 5、一般运动
目前，我们着重讨论前三种类型的刚体运动。 （一） 刚体的平动
刚体最基本的运动形式是平动和绕固定轴的转动。所以在学习刚体运动学时，都是从研究平动和绕固定轴的转动开始的。所谓平动指的是：在运动过程中，刚体中任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行或平行与自身的运动。
如图7-1所示，对刚体上任意二质点之间有关系式：rj?ri?rij
??????2?d2ridrjdridrj??平动?rij?恒矢量，故而及2?
dtdt2dtdt所以，刚体平动时体内各质元的速度、加速度相等——任一点的运动
均可代表整体的运动。
（二） 刚体绕固定轴的转动
o 定轴转动，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动，且圆心在该直线上，并称该直线为转轴。
?rij图7-1
1
建立直角坐标系，令z轴与转轴重合，如图7-2。显然，凡是具有相同的x-y坐标但z不同质点都有相同的运动状态（v,a），意味着任截面的运动可以代表整体的运动。因此，一般用oxy坐标平面自刚体截出一平面图形，一旦确定此平面图形的位置，刚体的位置便唯一地确定了。而此平面内除o点外任选一点A，一旦A的位置确定了，?此平面及整个刚体的位置也就唯一确定了。设A的位置矢量为r，在转动过程中大小是不变的，其方向随时间改变，可用夹角?表示，并称?为刚体定轴转动的角坐标，且规定逆时针为正，顺时针为x
?0 逆时针
角坐标?
z ??O y 负。 图7-2
?0 顺时针
这样，刚体定轴转动可用函数???(t)描述，并称其为刚体定轴转动的运动学方程。 角位移：?t时间内，?的增量，??称为该时间内的角位移。 ??d?大小： ??lim? ?t?0?tdt角速度
方向：沿z轴与z轴同向（逆时针）；沿z轴与z轴反向(顺时针)。 ??d?d2???2 大小：??lim ?t?0?tdtdt角加速度 方向：沿z轴与z轴同向（逆时针）；沿z轴与z轴反向(顺时针)。
td?讨论：（1）由??????0???dt
0dt匀速转动 ??cons t 故：
与直线运动的运动学公式类比
???0??t
x?x0?vt v?v0?at td? （2）由??????0???(t)dt
0dt 匀变速转动 ??cons t 故： ???0??t
由???0??t和???0??t得：
1x?x0?v0t?at2 2v2?v0?2(x?x0)a 2???0??0t??t2（匀变速转动的运动学方程）
12说明：?，?为刚体所具有，而任一时刻刚体上任意一点均有相同的?，?。
2
（3）角量和线量的关系 Ⅰ、速度和角速度的关系
以A点为例，研究角量和线量的关系 令t=0, ?=0则：
0 ?t时间内，A点的位置用弧长表示为：
s(t)??r
求导：v??dsd?dt?rdt ds?st为A点速度沿切线方向?的投影或分量。 阿则为：v??dsdt???0n? ds而??d??0dt 故有 v?r dt?0
???0ds
dt?0
II、加速度与角加速度的关系
?dv?dv??a?dt?ddt(v??d???)?dt??v?dt
其中：
dv?dt?d?dtr??r ∴adv???dt??r 而av2??n?r??2r ∴d?dt????n???n?∴a??a???r????2???ann?rn?
（三）角速度矢量 大小：? 角速度（??） 方向：与z轴同向或反向
合成法则：平行四边形法则
??A′ ?A″ 2 ? ??＝???1＋?2 ??
1 A
利用矢量的叉积为：v???????1?r1??2?r2
3