(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(三)函数与导数(1)理

宝宝宝宝牛牛牛你你你(三)函数与导数(1)

1.(2018·江南十校模拟)设f(x)=xln x-32ax2

+(3a-1)x.

(1)若g(x)=f′(x)在[1,2]上单调,求a的取值范围; (2)已知f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围. 解 (1)由f′(x)=ln x-3ax+3a, 即g(x)=ln x-3ax+3a,x∈(0,+∞),

g′(x)=1

x-3a,

①g(x)在[1,2]上单调递增, ∴1

x-3a≥0对x∈[1,2]恒成立,

即a≤1

3x对x∈[1,2]恒成立,

得a≤16

②g(x)在[1,2]上单调递减, ∴1

x-3a≤0对x∈[1,2]恒成立,

即a≥1

3x对x∈[1,2]恒成立,

得a≥13

由①②可得a的取值范围为??1?-∞,6???∪??1?3,+∞???

.

1

宝宝宝宝牛牛牛你你你(2)由(1)知,

①当a≤0时,f′(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

∴f(x)在x=1处取得极小值,符合题意; ②当0

3a>1,

又f′(x)在??1?0,3a???

上单调递增, ∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈???1,1?3a??时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在???1,13a???

上单调递增, f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;

③当a=11

3时,3a=1,f′(x)在(0,1)上单调递增,

在(1,+∞)上单调递减,

∴x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意; ④当a>13时,0<1

3a<1,

当x∈?

?1?3a,1???

时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意. 综上所述,可得a的取值范围为??1?

-∞,3???. 2.(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)=aln x-ex. (1)讨论f(x)的极值点的个数;

(2)若a∈N*

,且f(x)<0恒成立,求a的最大值. 参考数据:

x 1.6 1.7 1.8 ex 4.953 5.474 6.050 ln x 0.470 0.531 0.588

(1)根据题意可得f′(x)=axa-xex解 x-e=x(x>0),

2

宝宝宝宝牛牛牛你你你当a≤0时,f′(x)<0,函数是减函数,无极值点; 当a>0时,令f′(x)=0得a-xex=0,即xex=a, 又y=xex在(0,+∞)上是增函数, 且当x→+∞时,xex→+∞,

所以xex=a在(0,+∞)上存在一解,不妨设为x0, 所以函数y=f(x)在(0,x0)上单调递增, 在(x0,+∞)上单调递减,

所以函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点. 综上,当a≤0时,无极值点;

当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.(2)因为a∈N*

>0,

由(1)知,f(x)有极大值f(x0), 且x0满足x0ex0=a,①

可知f(x)max=f(x0)=aln x0-ex0, 要使f(x)<0恒成立, 即f(x0)=aln x0-ex0<0,② 由①可得ex0=ax, 0

代入②得aln xa0-x<0, 0

即a???

ln x10-x?0

??

<0, 因为a∈N*

>0,所以ln x10-x<0,

0

因为ln 1.7-11.7<0,ln 1.8-1

1.8>0,

且y=ln x1

0-x在(0,+∞)上是增函数.

0

设m为y=ln x1

0-x的零点,

0

则m∈(1.7,1.8),可知0

当00,a

ln x,

0

3

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