第三章 导 数
第03讲 利用导数研究函数的极值，最值 ---讲
1. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题. 2. 高考预测：
（1）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； （3）适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：
（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
知识点1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【典例1】（2018年文北京卷）设函数（Ⅰ）若曲线（Ⅱ）若
在
在点
处的切线斜率为0，求a；
.
处取得极小值，求a的取值范围.
，所以
.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为
，由题设知
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得
，即，解得.
.
若a>1，则当若
，则当
时，时，
；当时，，所以
.所以.所以1不是
.
在x=1处取得极小值. 的极小值点.
综上可知，a的取值范围是（1）当a=0时，令x ∴
+ ↗ .方法二：得x=1.
随x的变化情况如下表：
1 0 极大值 ? ↘ 在x=1处取得极大值，不合题意.
得
.①当
无极值，不合题意.
随x的变化情况如下表： 1 0 极大值 ? ↘ ，即a=1时，
，
（2）当a>0时，令∴②当x + ↗ 在上单调递增，∴
，即0 ∴③当x + 0 极小值 + ↗ 在x=1处取得极大值，不合题意. ，即a>1时， 随x的变化情况如下表： 0 + 0 ? ∴ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 在x=1处取得极小值，即a>1满足题意. 得 . 随x的变化情况如下表： 0 极大值 . ? ↘ （3）当a<0时，令x ? ↘ 0 极小值 + ↗ ∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为 【规律方法】 求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． 【变式1】（2019·北京高三期末（理））已知函数（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为（Ⅱ）求函数y?f(x)在区间[1,4]上的极值． 【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析 【解析】 （Ⅰ）因为 ， ． ，求a的值； 所以， 所以. . 因为y?f?x?在x?1处的切线方程为所以 11?a?， 22解得a?0.