专题3.3利用导数研究函数的极值,最值(讲)高考数学一轮复习讲练测(浙江版)含解析

第三章 导 数

第03讲 利用导数研究函数的极值,最值 ---讲

1. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题. 2. 高考预测:

(1)以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势.

(2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现; (3)适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点:

(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础;

(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值(最值)的基本方法,灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等,分析问题解决问题.

知识点1.函数的极值

(1)函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 【典例1】(2018年文北京卷)设函数(Ⅰ)若曲线(Ⅱ)若

在点

处的切线斜率为0,求a;

.

处取得极小值,求a的取值范围.

,所以

.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)因为

,由题设知

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得

,即,解得.

.

若a>1,则当若

,则当

时,时,

;当时,,所以

.所以.所以1不是

.

在x=1处取得极小值. 的极小值点.

综上可知,a的取值范围是(1)当a=0时,令x ∴

+ ↗ .方法二:得x=1.

随x的变化情况如下表:

1 0 极大值 ? ↘ 在x=1处取得极大值,不合题意.

.①当

无极值,不合题意.

随x的变化情况如下表: 1 0 极大值 ? ↘ ,即a=1时,

(2)当a>0时,令∴②当x + ↗ 在上单调递增,∴

,即0

∴③当x + 0 极小值 + ↗ 在x=1处取得极大值,不合题意.

,即a>1时,

随x的变化情况如下表:

0 + 0 ? ∴

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.

.

随x的变化情况如下表:

0 极大值 .

? ↘ (3)当a<0时,令x ? ↘ 0 极小值 + ↗ ∴在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为

【规律方法】

求函数f(x)极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x);

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;

(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. 【变式1】(2019·北京高三期末(理))已知函数(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为(Ⅱ)求函数y?f(x)在区间[1,4]上的极值. 【答案】(Ⅰ)0(Ⅱ)详见解析 【解析】 (Ⅰ)因为

. ,求a的值;

所以,

所以.

.

因为y?f?x?在x?1处的切线方程为所以

11?a?, 22解得a?0.

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