1.2 充分条件与必要条件
课题 充分条件和必要条件 1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义； 教学目标 2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件． 3） 从集合的观点理解充要条件。 4） 会证明简单的充要条件的命题。 充分条件，必要条件和充要条件的判断． 充要条件的理解和充要条件的命题的证明。 重 点 难 点 【知识点梳理】 1、命题“若p则q”为真，记作p?q；“若p则q”为假，记作“p ?q”. 2、充分与必要条件： ①如果已知p?q，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件. ②如果既有p?q，又有q?q，即p?q,则称p是q的充要条件. 3、充分、必要条件与四种命题的关系： ①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若 p则 q”都是真命题. ②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若 p则 q”为真命题. ③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。 4、充要条件的判断方法： 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件. 【典型例题分析】 例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. ?x?2,?x?y?4,（1）?是?的___________________条件； ?y?2.?xy?4.（2）(x?4)(x?1)?0是x?4?0的___________________条件； x?1（3）???是tan??tan?的___________________条件； （4）x?y?3是x?1或y?2的___________________条件. 分析：从集合观点“小范围?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. ?x?2,?x?y?4,1解：（1）因为?结合不等式性质易得?，反之不成立，若x?，y?10，有2?y?2.?xy?4.?x?y?4,?x?2,?x?2,?x?y?4,，但不成立，所以是?的充分不必要条件. ????xy?4.?y?2.?y?2.?xy?4.（2）因为(x?4)(x?1)?0的解集为[?1,4]，x?4?0的必要不充分条件. x?1x?4?0的解集为(?1,4]，故(x?4)(x?1)?0是x?1（3）当?????2时，tan?,tan?均不存在；当tan??tan?时，取???4，??5?，但???，4所以???是tan??tan?的既不充分也不必要条件. （4）原问题等价其逆否形式，即判断“x?1且y?2是x?y?3的____条件”，故x?y?3是x?1或y?2的充分不必要条件. 点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若?q则?p”的真假. 例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件. 分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答. 解： p?r?q ?s 故p是s的的充要条件. 点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用. ??例3.已知p:?x???x?2?0????，q:{x1?m?x?1?m,m?0}，若?p是?q的必要不充分条件，?x?10?0??求实数m的取值范围. 分析：若?p是?q的必要不充分条件等价其逆否形式，即q是p的必要不充分条件. 解：由题知：p:P??x?2?x?10?，q:Q?{x1?m?x?1?m,m?0} ?p是?q的必要不充分条件，?q是p的必要不充分条件. ?1?m??2,??P?Q，即?1?m?10,得m?9. ?m?0.?故m的取值范围为m?9. 点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合P?Q，则P是Q的充分条件；若集合P?Q，则P是Q的必要条件；若集合P?Q，则P是Q的充要条件． 例4.求证：关于x的方程ax2?bx?c?0有一个根为－1的充要条件是a?b?c?0． 分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性． 证明：必要性：若x??1是方程ax2?bx?c?0的根，求证：a?b?c?0． x??1是方程ax2?bx?c?0的根，?a?(?1)2?b?(?1)?c?0，即a?b?c?0． 充分性：关于x的方程ax2?bx?c?0的系数满足a?b?c?0，求证：方程有一根为－1． a?b?c?0，?b?a?c，代入方程得：ax2?(a?c)x?c?0， 得(ax?c)(x?1)?0，?x??1是方程ax2?bx?c?0的一个根． 故原命题成立． 点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可 【小结】 1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件． 2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P?Q，则P是Q的充分条件； 若集合P?Q，则P是Q的必要条件； 若集合P?Q，则P是Q的充要条件． 3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力 【课堂练习】 【基础达标】 1.若p?q，则p是q的充分条件．若q?p，则p是q的必要条件．若p?q，则p是q的充要条件． 2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知p:x?2，q:x?2，那么p是q的_____充分不必要___条件． （2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件． （3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的__必要不充分 条件．